카시미르 원소: 두 판 사이의 차이
편집 요약 없음 |
Osteologia (토론 | 기여) 편집 요약 없음 |
||
1번째 줄: | 1번째 줄: | ||
[[리 대수]] 이론에서, '''카시미르 원소'''(Casimir元素, {{llang|en|Casimir element}})는 [[리 대수]]의 [[보편 포락 대수]]의 [[환의 중심|중심]]의 특별한 원소이다. |
|||
== 정의 == |
|||
카시미르 원소는 [[헨드릭 카시미르]](Hendrik Casimir)의 이름을 따서 명명되었으며, 그는 1931년 강체 동역학에 대한 설명에서 이들을 변별했다. <ref> Oliver, David (2004). The shaggy steed of physics: mathematical beauty in the physical world. Springer. p. 81. ISBN 978-0-387-40307-6.</ref> |
|||
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 [[리 대수]] <math>\mathfrak g</math>의 [[보편 포락 대수]] <math>\operatorname U(\mathfrak g)</math>의 [[환의 중심|환으로서의 중심]] <math>\operatorname Z(\operatorname U(\mathfrak g))</math>를 생각하자. 이는 <math>K</math> 위의 [[벡터 공간]]이다. 물론, 이는 <math>\operatorname U(\mathfrak g)</math>의 표준적인 [[자연수]] 등급에 의하여 [[등급 벡터 공간]]으로 분해된다. |
|||
:<math>\operatorname Z(\operatorname U(\mathfrak g)) = \bigoplus_{i=0}^\infty \operatorname Z_i(\operatorname U(\mathfrak g))</math> |
|||
[[푸앵카레-버코프-비트 정리]]에 따라서, <math>\operatorname Z_i(\operatorname U(\mathfrak g))</math>는 <math>\mathfrak g^*</math> 변수의 <math>i</math>차 [[불변 다항식]]들의 공간과 같다. |
|||
⚫ | |||
두 불변 다항식의 곱은 물론 불변 다항식이다. 두 (양의 차수의) 불변 다항식의 곱으로 표현될 수 없는 [[동차 다항식|동차]] 불변 다항식에 대응하는 <math>\operatorname Z(\operatorname U(\mathfrak g))</math>의 원소를 <math>\mathfrak g</math>의 '''카시미르 원소'''라고 한다. |
|||
<math>n</math>차원 복소수 [[단순 리 대수]] <math>\mathfrak g</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, [[킬링 형식]] |
|||
:<math>B\in\operatorname{Sym}^2\mathfrak g^*</math> |
|||
이 존재한다. 그렇다면, 임의의 <math>B</math>-[[정규 직교 기저]] |
|||
:<math>\mathfrak g=\operatorname{Span}\{X^1,\dots,X^n\}</math> |
|||
:<math>B(X^i,X^j)=\delta^{ij}</math> |
|||
가 주어졌을 때, <math>\mathfrak g</math>의 카시미르 불변량(Casimir不變量, {{llang|en|Casimir invariant}})은 다음과 같은 [[보편 포락 대수]] <math>\operatorname U(\mathfrak g)</math>에서 원소이다. |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
특히, 체 <math>K</math> 위의 유한 차원 [[리 대수]] <math>\mathfrak g</math>의 [[킬링 형식]]에 대응하는 [[보편 포락 대수]] 원소 |
|||
:<math>B\in\operatorname{Sym}^2\mathfrak g^*</math> |
|||
⚫ | |||
가 [[딸림표현]] 아래 불변이라고 하자. 즉, 다음 항등식이 성립한다고 하자. |
|||
를 생각하자. (여기서 <math>X^i</math>는 <math>\mathfrak g</math>의 임의의 [[기저 (선형대수학)|기저]]이다.) 킬링 형식은 <math>\mathfrak g</math> 변수의 2차 [[불변 다항식]]이다. |
|||
:<math>B([X,Y],Z)+B(Y,[X,Z])=0\qquad\forall X,Y,Z\in\mathfrak g</math> |
|||
그렇다면, 마찬가지로 카시미르 불변량<math>C(B)\in U(\mathfrak g)</math>를 정의할 수 있다. |
|||
만약 <math>\mathfrak g</math>가 [[표수 0]]의 [[체 (수학)|체]] 위의 [[단순 리 대수]]라면, <math>B</math>는 [[비퇴화 이차 형식]]이며, 그 역행렬 <math>B^{-1}(-,-)</math>은 <math>\mathfrak g^*</math> 위의 2차 불변 다항식이므로, 카시미르 원소를 이룬다. 이를 <math>\mathfrak g</math>의 '''이차 카시미르 원소'''({{llang|en|quadratic Casimir element}})라고 한다. |
|||
== 성질 == |
|||
=== 하리시찬드라 동형 === |
|||
⚫ | |||
만약 <math>\mathfrak g</math>가 ([[대수적으로 닫힌 체]]일 필요가 없는) [[표수 0]]의 [[체 (수학)|체]] 위의 [[가약 리 대수]]일 경우, '''하리시찬드라 동형'''({{llang|en|Harish-Chandra isomorphism}})에 의하여, 다음과 같은 동형 사상이 존재한다. |
|||
3차원 특수[[직교행렬]] [[3차원 직교군|군]] <math>SO(3)</math> |
|||
:<math>\operatorname Z(\operatorname U(\mathfrak g)) \to \operatorname{Sym}(\mathfrak g)^{\operatorname W(\mathfrak g)}</math> |
|||
여기서 우변은 <math>\mathfrak g</math>로 생성되는 [[대칭 대수]]의 원소 가운데, [[바일 군]] <Math>\operatorname W(\mathfrak g)</math>의 [[군의 작용|작용]]에 대하여 불변인 것들의 부분 공간이다. |
|||
=== 라플라스-벨트라미 연산자 === |
|||
[[리 군]] <math>G</math>의 [[리 대수]]가 [[반단순 리 대수]]라고 하자. 그렇다면, 그 위에서 [[킬링 형식]] <math>B</math>는 [[준 리만 계량]]을 정의하며, 2차 카시미르 불변량은 이 [[준 리만 다양체]] <math>(G,B)</math>의 [[라플라스-벨트라미 연산자]] <math>\Delta_B</math>와 같다. |
|||
⚫ | |||
[[표수 0]]의 [[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 ([[양의 정부호]]) [[3차원 직교군|3차원 직교 리 대수]] <math>\mathfrak{so}(3;K)</math>를 생각하자. 그 [[기저 (선형대수학)|기저]]는 다음과 같이 잡을 수 있다. |
|||
:<math> |
:<math> |
||
L_x= |
L_x= |
||
45번째 줄: | 48번째 줄: | ||
</math> |
</math> |
||
이차 카시미르 |
그렇다면, 이차 카시미르 원소 |
||
:<math>L^2=L_x^2+L_y^2+L_z^2 |
:<math>L^2=L_x^2+L_y^2+L_z^2 |
||
= -2 |
= -2 |
||
54번째 줄: | 56번째 줄: | ||
0& 0& 1 |
0& 0& 1 |
||
\end{pmatrix}</math> |
\end{pmatrix}</math> |
||
을 정의할 수 있다. 이는 대각 행렬이므로, [[보편 포락 대수]]의 [[환의 중심|중심]]에 속함을 알 수 있다. |
|||
[[양자역학]]에서, <math>L_i</math>는 세 직교 방향에 대한 [[각운동량]]에 해당하며, 이차 카시미르 원소 <math>L^2</math>는 각운동량의 크기의 절댓값의 제곱의 [[기댓값]]이다. (이는 물론 각운동량의 크기의 절댓값의 기댓값의 제곱과 다르다.) [[총 각운동량 양자수]]의 스칼라 값을 <math>\ell</math>이라고 할 때, 이는 <math>\ell(\ell+1)</math>에 해당한다. 여기서 사용한 3차원 정의(定義) [[리 대수의 표현|표현]]은 [[스핀]] <math>\ell=1</math>에 해당하므로, <math>L^2 = 2</math>가 된다. |
|||
[[양자역학]]에서 [[총 각운동량 양자수]]의 스칼라 값 <math>\ell</math> |
|||
회전 그룹(직교군)의 유한 차원 행렬 값 [[군의 표현|표현]] 의 경우, <math>\ell</math>은 정수 값 ( [[보손]] 표현의 경우 ) 또는 [[반정수]] 값 ( [[페르미 입자]] 표현의 경우 )을 사용한다.<ref>{{harvnb|Hall|2013}} Proposition 17.8</ref> |
|||
== 역사 == |
|||
[[헨드릭 카시미르]]가 양자 강체 동역학에 대한 1931년 박사 학위 논문에서 <math>\mathfrak{so}(3)</math>의 이차 카시미르 불변량을 최초로 사용하였다.<ref>{{서적 인용|성=Oliver|이름=David|날짜=2004|제목=The shaggy steed of physics: mathematical beauty in the physical world|출판사=Springer-Verlag|isbn=978-0-387-40307-6|doi=10.1007/b97539 | url = https://archive.org/details/springer_10.1007-b97539 |언어=en}}</ref>{{rp|81}}<ref>{{서적 인용|url=http://ilorentz.org/history/proefschriften/sources/Casimir_1931.pdf | 이름=H. B. G.|성=Casimir|저자고리=헨드릭 카시미르 | 제목=Rotation of a rigid body in quantum mechanics | 날짜=1931 | 출판사= J. B. Wolters’ Uitgevers-Maatschappij N.V. | 위치=[[네덜란드]] | 언어=en}}</ref> |
|||
하리시찬드라 동형은 [[하리시찬드라]]가 도입하였다. |
|||
:<math>L^2=L_x^2+L_y^2+L_z^2=\ell(\ell+1)e</math> |
|||
:<math>\ell(\ell+1)\,=\,2</math>이 <math>\ell\,=\,1</math>에서처럼 유사하게, 2 차 표현은 [[스핀 (물리학)|스핀]] <math>{{1}\over{2}}</math>에 해당하는 [[파울리 행렬]]에 의해 주어진 [[기저 (선형대수학)|기초]]를 갖는다. |
|||
⚫ | |||
<!-- |
|||
⚫ | |||
:<math>C = \sum_{i=1}^{n}{e_{i}^{R} u^{iR}}</math> |
|||
== 외부 링크 == |
|||
위 아래 e 를 설명해주세요 |
|||
* {{eom|title=Casimir element}} |
|||
--> |
|||
* {{매스월드|id=CasimirOperator|title=Casimir operator}} |
|||
* {{nlab|id=Casimir operator}} |
|||
==함께보기== |
|||
* {{웹 인용|url=https://mathoverflow.net/questions/52587/basis-free-definition-of-casimir-element | 제목=Basis-free definition of the Casimir element | 웹사이트=Math Overflow | 언어=en}} |
|||
*[[겔만 행렬]] |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
[[분류:리 대수]] |
[[분류:리 대수]] |
||
[[분류:행렬]] |
2018년 1월 29일 (월) 04:52 판
리 대수 이론에서, 카시미르 원소(Casimir元素, 영어: Casimir element)는 리 대수의 보편 포락 대수의 중심의 특별한 원소이다.
정의
체 위의 리 대수 의 보편 포락 대수 의 환으로서의 중심 를 생각하자. 이는 위의 벡터 공간이다. 물론, 이는 의 표준적인 자연수 등급에 의하여 등급 벡터 공간으로 분해된다.
푸앵카레-버코프-비트 정리에 따라서, 는 변수의 차 불변 다항식들의 공간과 같다.
두 불변 다항식의 곱은 물론 불변 다항식이다. 두 (양의 차수의) 불변 다항식의 곱으로 표현될 수 없는 동차 불변 다항식에 대응하는 의 원소를 의 카시미르 원소라고 한다.
이차 카시미르 원소
특히, 체 위의 유한 차원 리 대수 의 킬링 형식에 대응하는 보편 포락 대수 원소
를 생각하자. (여기서 는 의 임의의 기저이다.) 킬링 형식은 변수의 2차 불변 다항식이다.
만약 가 표수 0의 체 위의 단순 리 대수라면, 는 비퇴화 이차 형식이며, 그 역행렬 은 위의 2차 불변 다항식이므로, 카시미르 원소를 이룬다. 이를 의 이차 카시미르 원소(영어: quadratic Casimir element)라고 한다.
성질
하리시찬드라 동형
만약 가 (대수적으로 닫힌 체일 필요가 없는) 표수 0의 체 위의 가약 리 대수일 경우, 하리시찬드라 동형(영어: Harish-Chandra isomorphism)에 의하여, 다음과 같은 동형 사상이 존재한다.
여기서 우변은 로 생성되는 대칭 대수의 원소 가운데, 바일 군 의 작용에 대하여 불변인 것들의 부분 공간이다.
라플라스-벨트라미 연산자
리 군 의 리 대수가 반단순 리 대수라고 하자. 그렇다면, 그 위에서 킬링 형식 는 준 리만 계량을 정의하며, 2차 카시미르 불변량은 이 준 리만 다양체 의 라플라스-벨트라미 연산자 와 같다.
예
표수 0의 체 위의 (양의 정부호) 3차원 직교 리 대수 를 생각하자. 그 기저는 다음과 같이 잡을 수 있다.
그렇다면, 이차 카시미르 원소
을 정의할 수 있다. 이는 대각 행렬이므로, 보편 포락 대수의 중심에 속함을 알 수 있다.
양자역학에서, 는 세 직교 방향에 대한 각운동량에 해당하며, 이차 카시미르 원소 는 각운동량의 크기의 절댓값의 제곱의 기댓값이다. (이는 물론 각운동량의 크기의 절댓값의 기댓값의 제곱과 다르다.) 총 각운동량 양자수의 스칼라 값을 이라고 할 때, 이는 에 해당한다. 여기서 사용한 3차원 정의(定義) 표현은 스핀 에 해당하므로, 가 된다.
역사
헨드릭 카시미르가 양자 강체 동역학에 대한 1931년 박사 학위 논문에서 의 이차 카시미르 불변량을 최초로 사용하였다.[1]:81[2]
하리시찬드라 동형은 하리시찬드라가 도입하였다.
참고 문헌
- ↑ Oliver, David (2004). 《The shaggy steed of physics: mathematical beauty in the physical world》 (영어). Springer-Verlag. doi:10.1007/b97539. ISBN 978-0-387-40307-6.
- ↑ Casimir, H. B. G. (1931). 《Rotation of a rigid body in quantum mechanics》 (PDF) (영어). 네덜란드: J. B. Wolters’ Uitgevers-Maatschappij N.V.
외부 링크
- “Casimir element”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Casimir operator”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “Casimir operator”. 《nLab》 (영어).
- “Basis-free definition of the Casimir element”. 《Math Overflow》 (영어).