단체 범주: 두 판 사이의 차이

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2017년 7월 29일 (토) 10:26 판

호모토피 이론에서, 단체 범주(單體範疇, 영어: simplicial category)는 공집합이 아닌 유한 정렬 집합들의 범주이다.^[1]^[2]^[3]^[4] 임의의 범주 속의 단체 대상(單體對象, 영어: simplicial object)은 단체 범주의 반대 범주를 정의역으로 하는 함자이다. 이는 일종의 위상을 가지는 대상으로 여길 수 있으며, 이 경우, “위상”은 특이 호몰로지에서의 특이 단체들을 사용하여 대수적으로 나타내어진다. 특히, 집합의 범주 속의 단체 대상은 단체 집합이라고 한다.

정의

단체 범주의 개념은 범주론을 사용하여 매우 간단하게 정의할 수 있으나 이는 매우 추상적이다. 대신 이와 동치인, 더 복잡하지만 더 구체적인 정의를 사용할 수도 있다.

범주 ${\mathcal {C}}$ 의 단체 대상(單體對象, 영어: simplicial object)은 단체 범주 위의, ${\mathcal {C}}$ 값을 갖는 준층이다. 즉, 함자 $\triangle ^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {C}}$ 이다. 단체 대상의 사상은 준층의 사상, 즉 함자 사이의 자연 변환이다. 단체 대상의 범주는

\operatorname {s} ({\mathcal {C}})={\mathcal {C}}^{\triangle ^{\operatorname {op} }}

로 표기한다.

단체 집합은 집합의 범주 위의 단체 대상이다. 즉, $\triangle ^{\operatorname {op} }$ 에서 집합과 함수의 범주 $\operatorname {Set}$ 로 가는 함자이다. 단체 집합들의 범주는 보통 $\operatorname {sSet}$ 라고 쓴다. 다른 범주 위의 단체 대상 역시 마찬가지로 불린다. 예를 들어, 단체 아벨 군(單體Abel群, 영어: simplicial Abelian group)은 아벨 군의 범주 $\operatorname {Ab}$ 위 단체 대상이다.

순서론적 정의

모든 정렬 집합과 증가 함수의 범주 $\operatorname {Ord}$ 를 생각하자.

첨가 단체 범주(영어: augmented simplex category) $\triangle _{+}$ 는 $\operatorname {Ord}$ 가운데, 유한 집합만으로 구성된 충만한 부분 범주이다.

단체 범주(영어: augmented simplex category) $\triangle _{+}$ 는 $\operatorname {Ord}$ 가운데, 공집합이 아닌 유한 집합만으로 구성된 충만한 부분 범주이다.

다시 말해, 첨가 단체 범주는 단체 범주에 공집합을 “첨가”한 것이다.

이는 엄밀히 말하면 작은 범주가 아니지만, 같은 순서형의 정렬 집합은 서로 동형이므로, $\triangle$ 및 $\triangle _{+}$ 는 각각 가산 무한 개의 동형류를 갖는다. 구체적으로, $\triangle _{+}$ 의 동형류들은 자연수(유한 순서수)에 대응하며, $\triangle$ 의 동형류들은 양의 정수에 대응한다. 따라서, 이들과 동치인 작은 범주들을 취할 수 있다.

대수적 정의

첨가 단체 범주 $\triangle _{+}$ 는 하나의 모노이드 대상 $e$ 로 생성되는 자유 모노이드 범주 $({\mathcal {C}},\otimes )$ 이다. 즉, $\triangle _{+}$ 의 대상은

\overbrace {e\otimes e\otimes \dotsb \otimes e} ^{n}\qquad (n\in \mathbb {N} )

의 꼴이며, 사상들은 $e$ 의 모노이드 연산

\mu \colon e^{\otimes 2}\to e

\eta \colon e^{\otimes 0}\to e

가 된다.

첨가 단체 범주 $\triangle _{+}$ 에서, 시작 대상 $e^{\otimes 0}$ 및 이를 정의역 또는 공역으로 갖는 모든 사상들을 삭제한 충만한 부분 범주를 단체 범주 $\triangle$ 라고 한다.

위상수학적 정의

단체 범주의 반대 범주 $\triangle ^{\operatorname {op} }$ 는 다음과 같은 작은 범주이다.

$\triangle ^{\operatorname {op} }$ 의 대상들은 각 자연수 $n\in \mathbb {N}$ 에 대하여 $\Delta _{n}$ 이다. 이를 $n$ 차원 단체(영어: $n$ -simplex)라고 한다.

이 범주의 사상들은 다음과 같은 사상들의 (유한 개의) 합성으로 주어진다.

각 양의 정수 $n\in \mathbb {Z} ^{+}$ 및 $i\in \{0,1,\dots ,n\}$ 에 대하여, 사상 $\partial _{n,i}\colon \Delta _{n}\to \Delta _{n-1}$ . 이를 면 사상(영어: face morphism)이라고 하며, 이는 $n+1$ 개의 면을 갖는 $n$ 차원 단체의 $i$ 번째 면을 뜻한다.
각 자연수 $n\in \mathbb {N}$ 및 $i\in \{0,1,\dots ,n\}$ 에 대하여, 사상 $s_{n,i}\colon \Delta _{n}\to \Delta _{n+1}$ . 이를 퇴화 사상(영어: degeneracy map)이라고 한다. 이는 $i$ 번째 꼭짓점이 $i+1$ 번째 꼭짓점과 일치하는 퇴화 특이 단체를 뜻한다.

이 사상들은 다음과 같은 단체 항등식(單體恒等式, 영어: simplicial identity)들을 만족시켜야 한다.

(면의 면) $\partial _{n-1}^{i}\circ \partial _{n}^{j}=\partial _{n-1}^{j-1}\circ \partial _{n}^{i}\qquad (0\leq i<j\leq n)$
(퇴화 단체의 퇴화 단체) $s_{n+1}^{i}\circ s_{n}^{j}=s_{n+1}^{j+1}\circ s_{n}^{i}\qquad (0\leq i\leq j\leq n)$
(퇴화 단체의 면) $\partial _{n+1}^{i}\circ s_{n}^{j}={\begin{cases}s_{n-1}^{j-1}\circ \partial _{n}^{i}&i<j\\\operatorname {id} _{\Delta _{n}}&i=j,j+1\\s_{n-1}^{j}\circ \partial _{n}^{i-1}&i>j+1\end{cases}}\qquad (0\leq i\leq n+1,\;0\leq j\leq n)$

단체 범주 $\triangle$ 는 $\triangle ^{\operatorname {op} }$ 의 반대 범주이다.

정의 사이의 관계

이 정의 사이의 관계는 다음과 같다.

순서론적 정의	대수적 정의	위상수학적 정의
크기 $n+1$ 의 정렬 집합 $(S,\leq )$	$e^{\otimes (n+1)}$	$n$ 차원 단체 $\Delta _{n}$
증가 함수 $f_{i}^{n}\colon k\in \{0,\dots ,n-1\}\mapsto {\begin{cases}k&k<i\\k+1&k\geq i\end{cases}}$	모노이드 곱 $\overbrace {\operatorname {id} _{e}\otimes \dotsb \otimes \operatorname {id} _{e}} ^{i}\otimes \mu \otimes \overbrace {\operatorname {id} _{e}\otimes \dotsb \otimes \operatorname {id} _{e}} ^{n-i-2}$	면 사상 $\partial _{n}^{i}\colon \Delta _{n}\to \Delta _{n-1}$
증가 함수 $g_{i}^{n}\colon k\in \{0,\dots ,n+1\}\mapsto {\begin{cases}k&k\leq i\\k-1&k>i\end{cases}}$	모노이드 항등원 $\overbrace {\operatorname {id} _{e}\otimes \dotsb \otimes \operatorname {id} _{e}} ^{i}\otimes \eta \otimes \overbrace {\operatorname {id} _{e}\otimes \dotsb \otimes \operatorname {id} _{e}} ^{n-i}$	퇴화 사상 $s_{n}^{i}\colon \Delta _{n}\to \Delta _{n+1}$ 의 반대 사상

모든 증가 함수 $\{0,1,\dots ,n\}\to \{0,1,\dots ,k\}$ 는 $f_{i}^{n}$ 및 $g_{i}^{n}$ 와 같은 함수들의 합성으로 나타낼 수 있다.

성질

범주론적 성질

${\mathcal {C}}$ 가 국소적으로 작은 범주이며, 완비 범주이자 쌍대 완비 범주라고 하자. 그렇다면, 쌍대곱 함자

{\mathcal {C}}\times \operatorname {Set} \to {\mathcal {C}}

(X,S)\mapsto X^{\sqcup X}=\coprod _{s\in S}X

가 존재하며, 자연 동형

\hom _{\mathcal {C}}(X^{\sqcup S},Y)\cong \hom _{\operatorname {Set} }(S,\hom _{\mathcal {C}}(X,Y))

이 존재한다. 이에 따라, 자연스럽게 함자

\operatorname {s} ({\mathcal {C}})\times \operatorname {sSet} \to \operatorname {s} ({\mathcal {C}})

가 존재하며, 이에 따라

\hom _{\operatorname {s} ({\mathcal {C}})}(X,Y)

는 자연스럽게 단체 집합을 이룬다. 이에 따라, 단체 대상 범주 $\operatorname {s} ({\mathcal {C}})$ 는 단체 집합의 데카르트 모노이드 범주 위의 풍성한 범주를 이룬다.

첨가 단체 범주

첨가 단체 범주 $\triangle _{+}$ 의 경우, 다음과 같은 모노이드 범주를 이룬다.

\{0,1,\dotsc ,m-1\}\otimes \{0,1,\dotsc ,n-1\}=\{0,1,\dotsc ,m+n-1\}

(그 항등원은 $\{0\}$ 인데, 이는 $\triangle$ 에 속하지 않는다. 따라서 이는 위와 같이 모노이드 범주를 이루지 못한다.)

단체 가군

아벨 범주 ${\mathcal {A}}$ 속의 단체 대상 $M_{\bullet }$ 을 생각하자. 그렇다면, 면 사상이

\partial _{n,i}\colon M_{n}\to M_{n-1}\qquad (0\leq i\leq n)

이라고 하면, 다음을 정의할 수 있다.

\partial _{n}\colon M_{n}\to M_{n-1}

\partial _{n}=\sum _{i=0}^{n}(-)^{i}\partial _{n,i}

그렇다면, $(M_{\bullet },\partial _{\bullet })$ 은 사슬 복합체를 이룬다. $M_{\bullet }$ 의 호몰로지란 이 사슬 복합체의 호몰로지를 뜻한다.

(이 정의에서, 퇴화 사상 $s_{n,i}\colon M_{n}\to M_{n+1}$ 들은 사용되지 않는다.)

돌트-칸 대응

${\mathcal {A}}$ 가 아벨 범주라고 하고, 그 속의 단체 대상들의 범주를 $\operatorname {s} ({\mathcal {A}})=[\triangle ^{\operatorname {op} },{\mathcal {A}}]$ 라고 하자. 그렇다면, 이 범주는 ${\mathcal {A}}$ 위의, 자연수 (음이 아닌 정수) 등급을 갖는 사슬 복합체들의 범주 $\operatorname {Ch} _{\geq 0}({\mathcal {A}})$ 와 동치이며, 이는 또한 모형 범주의 퀼런 동치를 이룬다. 이를 돌트-칸 대응(Dold–Kan對應, 영어: Dold–Kan correspondence)이라고 한다.

\operatorname {s} ({\mathcal {A}})\simeq \operatorname {Ch} _{\geq 0}({\mathcal {A}})

예

신경

작은 범주 ${\mathcal {C}}$ 가 주어졌을 때, 이에 대응하는 표준적인 단체 집합 $\operatorname {nerve} {\mathcal {C}}$ 가 존재하며, 이를 ${\mathcal {C}}$ 의 신경이라고 한다. 신경은 2-범주의 함자

\operatorname {nerve} \colon \operatorname {Cat} \to \operatorname {sSet}

를 정의한다.

쌍대 모노이드 대상

첨가 단체 범주 $\triangle _{+}$ 는 하나의 원소로 생성되는 자유 모노이드 범주이므로, 다음 세 개념이 서로 동치이다.

모노이드 범주 $({\mathcal {C}},\otimes )$ 속의 모노이드 대상
함자 $\triangle _{+}\to {\mathcal {C}}$
${\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }$ 속의 첨가 단체 대상

특히, 모든 모노이드 대상은 그 반대 범주 속의 단체 대상을 이룬다.

특히, 만약 ${\mathcal {C}}=\hom _{\operatorname {Cat} }({\mathcal {D}},{\mathcal {D}})$ 가 자기 함자의 범주라고 하자. 그 속의 모노이드 대상은 모나드이며, 이 개념은 반대 범주 $\hom _{\operatorname {Cat} }({\mathcal {D}},{\mathcal {D}})^{\operatorname {op} }$ 속의 첨가 단체 대상과 동치이다.

막대 복합체

호몰로지 대수학에서 등장하는 막대 복합체와 호흐실트 사슬 복합체는 둘 다 가군 범주 속의 단체 대상을 이룬다.

참고 문헌

↑ Goerss, Paul G.; Jardine, John Frederick (1999). 《Simplicial homotopy theory》. Progress in Mathematics (영어) 174. Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-6064-1.
↑ Gelfand, Sergei I.; Manin, Yuri I. 《Methods of homological algebra》. Springer Monographs in Mathematics (영어). Springer. doi:10.1007/978-3-662-12492-5.
↑ Curtis, Edward B. (1971년 4월). “Simplicial homotopy theory”. 《Advances in Mathematics》 (영어) 6 (2): 107–209. doi:10.1016/0001-8708(71)90015-6. MR 279808.
↑ Friedman, Greg (2012). “An elementary illustrated introduction to simplicial sets”. 《Rocky Mountain Journal of Mathematics》 (영어) 42 (2): 353–423. arXiv:0809.4221. Bibcode:2008arXiv0809.4221F. doi:10.1216/RMJ-2012-42-2-353. ISSN 0035-7596. MR 2915498. Zbl 06035442.

바깥 고리

“Simplicial object in a category”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Simplicial object”. 《nLab》 (영어).
- “Simplicial group”. 《nLab》 (영어).
  - “Model structure on simplicial groups”. 《nLab》 (영어).
- “Simplicial ring”. 《nLab》 (영어).
- “Simplicial Lie algebra”. 《nLab》 (영어).
- “Simplicial object in Cat”. 《nLab》 (영어).
- “Simplicial presheaf”. 《nLab》 (영어).
- “Simplicial topological space”. 《nLab》 (영어).
- “Simplicial manifold”. 《nLab》 (영어).
“Cosimplicial object”. 《nLab》 (영어).
- “Cosimplicial algebra”. 《nLab》 (영어).
“Simplicial identities”. 《nLab》 (영어).
“Simplex category”. 《nLab》 (영어).
“Dold-Kan correspondence”. 《nLab》 (영어).
“Monoidal Dold-Kan correspondence”. 《nLab》 (영어).
de Jong, Johan (2013년 8월 1일). “Simplicial modules”. 《Stacks Project Blog》 (영어).
Mathew, Akhil. “Simplicial commutative rings Ⅰ” (PDF) (영어).

[1] Goerss, Paul G.; Jardine, John Frederick (1999). 《Simplicial homotopy theory》. Progress in Mathematics (영어) 174. Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-6064-1.

[2] Gelfand, Sergei I.; Manin, Yuri I. 《Methods of homological algebra》. Springer Monographs in Mathematics (영어). Springer. doi:10.1007/978-3-662-12492-5.

[3] Curtis, Edward B. (1971년 4월). “Simplicial homotopy theory”. 《Advances in Mathematics》 (영어) 6 (2): 107–209. doi:10.1016/0001-8708(71)90015-6. MR 279808.

[4] Friedman, Greg (2012). “An elementary illustrated introduction to simplicial sets”. 《Rocky Mountain Journal of Mathematics》 (영어) 42 (2): 353–423. arXiv:0809.4221. Bibcode:2008arXiv0809.4221F. doi:10.1216/RMJ-2012-42-2-353. ISSN 0035-7596. MR 2915498. Zbl 06035442.

[1]

[2]

[3]

[4]

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+[[호모토피 이론]]에서, '''단체 범주'''(單體範疇, {{llang|en|simplicial category}})는 공집합이 아닌 [[유한 집합|유한]] [[정렬 집합]]들의 범주이다.<ref>{{서적 인용 | last1=Goerss | first1=Paul G. | last2=Jardine | first2=John Frederick | title=Simplicial homotopy theory | publisher=Birkhäuser | series=Progress in Mathematics | isbn=978-3-7643-6064-1 | 날짜=1999 | volume=174 |언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용 | last1=Gelfand | first1=Sergei I. | last2=Manin | first2=Yuri I. |저자고리2=유리 마닌| title=Methods of homological algebra | doi=10.1007/978-3-662-12492-5 | 출판사=Springer | 총서 = Springer Monographs in Mathematics | 언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용 | 이름=Edward B. | 성= Curtis | doi=10.1016/0001-8708(71)90015-6 | 제목=Simplicial homotopy theory|저널=Advances in Mathematics|권=6|호=2|날짜=1971-04 |쪽=107–209|mr=279808|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=An elementary illustrated introduction to simplicial sets|arxiv=0809.4221|이름=Greg|성=Friedman|날짜=2012|bibcode=2008arXiv0809.4221F|저널=Rocky Mountain Journal of Mathematics|권=42|호=2|쪽=353–423|doi=10.1216/RMJ-2012-42-2-353|mr=2915498|zbl=06035442|issn=0035-7596|언어=en}}</ref> 임의의 범주 속의 '''단체 대상'''(單體對象, {{llang|en|simplicial object}})은 단체 범주의 반대 범주를 정의역으로 하는 [[함자 (수학)|함자]]이다. 이는 일종의 [[위상 공간 (수학)|위상]]을 가지는 대상으로 여길 수 있으며, 이 경우, “위상”은 [[특이 호몰로지]]에서의 특이 [[단체 (수학)|단체]]들을 사용하여 대수적으로 나타내어진다. 특히, 집합의 범주 속의 단체 대상은 '''[[단체 집합]]'''이라고 한다.
-#넘겨주기 [[단체 대상]]
+== 정의 ==
+단체 범주의 개념은 [[범주론]]을 사용하여 매우 간단하게 정의할 수 있으나 이는 매우 추상적이다. 대신 이와 동치인, 더 복잡하지만 더 구체적인 정의를 사용할 수도 있다.
+[[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C</math>의 '''단체 대상'''(單體對象, {{llang|en|simplicial object}})은 단체 범주 위의, <Math>\mathcal C</math> 값을 갖는 [[준층]]이다. 즉, [[함자 (수학)|함자]] <math>\triangle^{\operatorname{op}}\to\mathcal C</math>이다. 단체 대상의 '''사상'''은 [[준층]]의 사상, 즉 함자 사이의 [[자연 변환]]이다. 단체 대상의 범주는
+:<math>\operatorname s(\mathcal C)=\mathcal C^{\triangle^{\operatorname{op}}}</math>
+로 표기한다.
+'''단체 집합'''은 [[집합]]의 범주 위의 단체 대상이다. 즉, <math>\triangle^{\operatorname{op}}</math>에서 집합과 함수의 범주 <math>\operatorname{Set}</math>로 가는 [[함자 (수학)|함자]]이다. 단체 집합들의 범주는 보통 <math>\operatorname{sSet}</math>라고 쓴다. 다른 범주 위의 단체 대상 역시 마찬가지로 불린다. 예를 들어, '''단체 아벨 군'''(單體Abel群, {{llang|en|simplicial Abelian group}})은 [[아벨 군]]의 범주 <math>\operatorname{Ab}</math> 위 단체 대상이다.
+=== 순서론적 정의 ===
+모든 [[정렬 집합]]과 [[증가 함수]]의 범주 <math>\operatorname{Ord}</math>를 생각하자.
+'''첨가 단체 범주'''({{llang|en|augmented simplex category}}) <math>\triangle_+</math>는 <math>\operatorname{Ord}</math> 가운데, [[유한 집합]]만으로 구성된 [[충만한 부분 범주]]이다.
+'''단체 범주'''({{llang|en|augmented simplex category}}) <math>\triangle_+</math>는 <math>\operatorname{Ord}</math> 가운데, [[공집합]]이 아닌 [[유한 집합]]만으로 구성된 [[충만한 부분 범주]]이다.
+다시 말해, 첨가 단체 범주는 단체 범주에 공집합을 “첨가”한 것이다.
+이는 엄밀히 말하면 [[작은 범주]]가 아니지만, 같은 [[순서형]]의 [[정렬 집합]]은 서로 [[동형]]이므로, <math>\triangle</math> 및 <math>\triangle_+</math>는 각각 [[가산 무한]] 개의 [[동형류]]를 갖는다. 구체적으로, <math>\triangle_+</math>의 동형류들은 [[자연수]](유한 [[순서수]])에 대응하며, <math>\triangle</math>의 동형류들은 양의 정수에 대응한다. 따라서, 이들과 [[범주의 동치|동치]]인 [[작은 범주]]들을 취할 수 있다.
+=== 대수적 정의 ===
+'''첨가 단체 범주''' <math>\triangle_+</math>는 하나의 [[모노이드 대상]] <math>e</math>로 생성되는 자유 [[모노이드 범주]] <math>(\mathcal C,\otimes)</math>이다. 즉, <math>\triangle_+</math>의 대상은
+:<math>\overbrace{e\otimes e\otimes\dotsb\otimes e}^n\qquad(n\in\mathbb N)</math>
+의 꼴이며, 사상들은 <math>e</math>의 모노이드 연산
+:<math>\mu \colon e^{\otimes2} \to e</math>
+:<math>\eta \colon e^{\otimes0} \to e</math>
+가 된다.
+첨가 단체 범주 <math>\triangle_+</math>에서, [[시작 대상]] <math>e^{\otimes0}</math> 및 이를 [[정의역]] 또는 [[공역 (수학)|공역]]으로 갖는 모든 [[사상 (수학)|사상]]들을 삭제한 [[충만한 부분 범주]]를 '''단체 범주''' <math>\triangle</math>라고 한다.
+=== 위상수학적 정의 ===
+단체 범주의 [[반대 범주]] <math>\triangle^{\operatorname{op}}</math>는 다음과 같은 [[작은 범주]]이다.
+* <math>\triangle^{\operatorname{op}}</math>의 대상들은 각 자연수 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여 <math>\Delta_n</math>이다. 이를 '''<math>n</math>차원 단체'''({{llang|en|<math>n</math>-simplex}})라고 한다.
+이 범주의 사상들은 다음과 같은 사상들의 (유한 개의) 합성으로 주어진다.
+* 각 양의 정수 <math>n\in\mathbb Z^+</math> 및 <math>i\in\{0,1,\dots,n\}</math>에 대하여, 사상 <math>\partial_{n,i}\colon \Delta_n\to \Delta_{n-1}</math>. 이를 '''면 사상'''({{llang|en|face morphism}})이라고 하며, 이는 <math>n+1</math>개의 면을 갖는 <math>n</math>차원 단체의 <math>i</math>번째 면을 뜻한다.
+* 각 자연수 <math>n\in\mathbb N</math> 및 <math>i\in\{0,1,\dots,n\}</math>에 대하여, 사상 <math>s_{n,i}\colon \Delta_n\to \Delta_{n+1}</math>. 이를 '''퇴화 사상'''({{llang|en|degeneracy map}})이라고 한다. 이는 <math>i</math>번째 꼭짓점이 <math>i+1</math>번째 꼭짓점과 일치하는 퇴화 특이 단체를 뜻한다.
+이 사상들은 다음과 같은 '''단체 항등식'''(單體恒等式, {{llang|en|simplicial identity}})들을 만족시켜야 한다.
+* (면의 면) <math>\partial^i_{n-1}\circ\partial^j_n=\partial^{j-1}_{n-1}\circ\partial^i_n\qquad(0\le i<j\le n)</math>
+* (퇴화 단체의 퇴화 단체) <math>s^i_{n+1}\circ s^j_n=s^{j+1}_{n+1}\circ s^i_n\qquad(0\le i\le j\le n)</math>
+* (퇴화 단체의 면) <math>\partial^i_{n+1}\circ s^j_n=
+\begin{cases}
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+'''단체 범주''' <math>\triangle</math>는 <math>\triangle^{\operatorname{op}}</math>의 [[반대 범주]]이다.
+=== 정의 사이의 관계 ===
+이 정의 사이의 관계는 다음과 같다.
+{| class=wikitable
+! 순서론적 정의 !! 대수적 정의 !! 위상수학적 정의
+|-
+| [[집합의 크기|크기]] <math>n+1</math>의 [[정렬 집합]] <math>(S,\le)</math> || <math>e^{\otimes(n+1)}</math> || <math>n</math>차원 단체 <math>\Delta_n</math>
+|-
+| [[증가 함수]] <math>f_i^n\colon k\in\{0,\dots,n-1\}\mapsto\begin{cases}
+k&k<i\\
+k+1&k\ge i\end{cases}</math>
+| 모노이드 곱 <math>\overbrace{\operatorname{id}_e \otimes\dotsb\otimes\operatorname{id}_e}^i \otimes \mu \otimes \overbrace{\operatorname{id}_e \otimes \dotsb\otimes\operatorname{id}_e}^{n-i-2}</math>
+| 면 사상 <math>\partial_n^i\colon\Delta_n\to\Delta_{n-1}</math>
+|-
+| [[증가 함수]] <math>g_i^n\colon k\in\{0,\dots,n+1\}\mapsto\begin{cases}
+k&k\le i\\
+k-1&k>i\end{cases}</math>
+| 모노이드 항등원 <math>\overbrace{\operatorname{id}_e \otimes\dotsb\otimes\operatorname{id}_e}^i \otimes \eta \otimes \overbrace{\operatorname{id}_e \otimes \dotsb\otimes\operatorname{id}_e}^{n-i}</math>
+| 퇴화 사상 <math>s_n^i\colon\Delta_n\to\Delta_{n+1}</math>의 반대 사상
+|}
+모든 증가 함수 <math>\{0,1,\dots,n\}\to\{0,1,\dots,k\}</math>는 <math>f_i^n</math> 및 <math>g_i^n</math>와 같은 함수들의 [[함수의 합성|합성]]으로 나타낼 수 있다.
+== 성질 ==
+=== 범주론적 성질 ===
+<math>\mathcal C</math>가 [[국소적으로 작은 범주]]이며, [[완비 범주]]이자 [[쌍대 완비 범주]]라고 하자. 그렇다면, [[쌍대곱]] 함자
+:<math>\mathcal C\times\operatorname{Set}\to\mathcal C</math>
+:<math>(X,S)\mapsto X^{\sqcup X}=\coprod_{s\in S}X</math>
+가 존재하며, [[자연 동형]]
+:<math>\hom_{\mathcal C}(X^{\sqcup S},Y)\cong \hom_{\operatorname{Set}}(S,\hom_{\mathcal C}(X,Y))</math>
+이 존재한다. 이에 따라, 자연스럽게 함자
+:<math>\operatorname s(\mathcal C)\times\operatorname{sSet}\to\operatorname s(\mathcal C)</math>
+가 존재하며, 이에 따라
+:<math>\hom_{\operatorname s(\mathcal C)}(X,Y)</math>
+는 자연스럽게 [[단체 집합]]을 이룬다. 이에 따라, 단체 대상 범주 <math>\operatorname s(\mathcal C)</math>는 [[단체 집합]]의 [[데카르트 모노이드 범주]] 위의 [[풍성한 범주]]를 이룬다.
+==== 첨가 단체 범주 ====
+첨가 단체 범주 <math>\triangle_+</math>의 경우, 다음과 같은 [[모노이드 범주]]를 이룬다.
+:<math>\{0,1,\dotsc,m-1\} \otimes \{0,1,\dotsc,n-1\} = \{0,1,\dotsc,m+n-1\}</math>
+(그 항등원은 <math>\{0\}</math>인데, 이는 <math>\triangle</math>에 속하지 않는다. 따라서 이는 위와 같이 [[모노이드 범주]]를 이루지 못한다.)
+=== 단체 가군 ===
+[[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math> 속의 단체 대상 <math>M_\bullet</math>을 생각하자. 그렇다면, 면 사상이
+:<math>\partial_{n,i} \colon M_n \to M_{n-1} \qquad (0\le i \le n)</math>
+이라고 하면, 다음을 정의할 수 있다.
+:<math>\partial_n \colon M_n \to M_{n-1}</math>
+:<math>\partial_n = \sum_{i=0}^n (-)^i \partial_{n,i}</math>
+그렇다면, <math>(M_\bullet,\partial_\bullet)</math>은 [[사슬 복합체]]를 이룬다. <math>M_\bullet</math>의 '''호몰로지'''란 이 [[사슬 복합체]]의 [[호몰로지]]를 뜻한다.
+(이 정의에서, 퇴화 사상 <math>s_{n,i} \colon M_n \to M_{n+1}</math>들은 사용되지 않는다.)
+=== 돌트-칸 대응 ===
+<math>\mathcal A</math>가 [[아벨 범주]]라고 하고, 그 속의 단체 대상들의 범주를 <math>\operatorname s(\mathcal A)=[\triangle^{\operatorname{op}},\mathcal A]</math>라고 하자. 그렇다면, 이 범주는 <math>\mathcal A</math> 위의, [[자연수]] (음이 아닌 정수) 등급을 갖는 [[사슬 복합체]]들의 범주 <math>\operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A)</math>와 [[범주의 동치|동치]]이며, 이는 또한 [[모형 범주]]의 [[퀼런 동치]]를 이룬다. 이를 '''돌트-칸 대응'''(Dold–Kan對應, {{llang|en|Dold–Kan correspondence}})이라고 한다.
+:<math>\operatorname s(\mathcal A)\simeq\operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A)</math>
+== 예 ==
+=== 신경 ===
+{{본문|신경 (범주론)|신경}}
+[[작은 범주]] <math>\mathcal C</math>가 주어졌을 때, 이에 대응하는 표준적인 단체 집합 <math>\operatorname{nerve}\mathcal C</math>가 존재하며, 이를 <math>\mathcal C</math>의 '''[[신경 (범주론)|신경]]'''이라고 한다. 신경은 [[2-범주]]의 함자
+:<math>\operatorname{nerve}\colon\operatorname{Cat}\to\operatorname{sSet}</math>
+를 정의한다.
+=== 쌍대 모노이드 대상 ===
+{{본문|모노이드 대상}}
+첨가 단체 범주 <math>\triangle_+</math>는 하나의 원소로 생성되는 자유 [[모노이드 범주]]이므로, 다음 세 개념이 서로 [[동치]]이다.
+* [[모노이드 범주]] <math>(\mathcal C,\otimes)</math> 속의 [[모노이드 대상]]
+* [[함자 (수학)|함자]] <math>\triangle_+ \to \mathcal C</math>
+* <math>\mathcal C^{\operatorname{op}}</math> 속의 첨가 단체 대상
+특히, 모든 [[모노이드 대상]]은 그 [[반대 범주]] 속의 단체 대상을 이룬다.
+특히, 만약 <math>\mathcal C=\hom_{\operatorname{Cat}}(\mathcal D,\mathcal D)</math>가 [[자기 함자]]의 범주라고 하자. 그 속의 [[모노이드 대상]]은 [[모나드 (범주론)|모나드]]이며, 이 개념은 [[반대 범주]] <math>\hom_{\operatorname{Cat}}(\mathcal D,\mathcal D)^{\operatorname{op}}</math> 속의 첨가 단체 대상과 [[동치]]이다.
+=== 막대 복합체 ===
+{{본문|막대 복합체}}
+{{본문|호흐실트 호몰로지}}
+[[호몰로지 대수학]]에서 등장하는 [[막대 복합체]]와 [[호흐실트 사슬 복합체]]는 둘 다 [[가군]] [[범주 (수학)|범주]] 속의 단체 대상을 이룬다.
+== 참고 문헌 ==
+{{각주}}
+== 바깥 고리 ==
+* {{eom|title=Simplicial object in a category}}
+* {{nlab|id=simplicial object|title=Simplicial object}}
+** {{nlab|id=simplicial group|title=Simplicial group}}
+*** {{nlab|id=model structure on simplicial groups|title=Model structure on simplicial groups}}
+** {{nlab|id=simplicial ring|title=Simplicial ring}}
+** {{nlab|id=simplicial Lie algebra|title=Simplicial Lie algebra}}
+** {{nlab|id=simplicial object in Cat|title=Simplicial object in Cat}}
+** {{nlab|id=simplicial presheaf|title=Simplicial presheaf}}
+** {{nlab|id=simplicial topological space|title=Simplicial topological space}}
+** {{nlab|id=simplicial manifold|title=Simplicial manifold}}
+* {{nlab|id=cosimplicial object|title=Cosimplicial object}}
+** {{nlab|id=cosimplicial algebra|title=Cosimplicial algebra}}
+* {{nlab|id=simplicial identities|title=Simplicial identities}}
+* {{nlab|id=simplex category|title=Simplex category}}
+* {{nlab|id=Dold-Kan correspondence}}
+* {{nlab|id=monoidal Dold-Kan correspondence|title=Monoidal Dold-Kan correspondence}}
+* {{웹 인용|url=http://math.columbia.edu/~dejong/wordpress/?p=3453 | 제목=Simplicial modules | 웹사이트=Stacks Project Blog | 날짜=2013-08-01 | 이름=Johan |성=de Jong | 언어=en}}
+* {{웹 인용|url=http://www.math.harvard.edu/~amathew/SCR.pdf | 제목=Simplicial commutative rings Ⅰ | 이름=Akhil | 성=Mathew | 언어=en}}
+[[분류:호모토피 이론]]
+[[분류:호몰로지 대수학]]
+[[분류:범주론]]