고유 사상: 두 판 사이의 차이

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2016년 2월 26일 (금) 10:22 판

대수기하학에서, 고유 사상(固有寫像, 영어: proper morphism)은 복소다양체 사이의 고유 함수를 일반화하는 스킴 사상의 종류이다.

정의

스킴 사상 $X\to S$ 가 다음 조건을 만족시킨다면 보편 닫힌 사상(普遍닫힌寫像, 영어: universally closed morphism)이라고 한다.^[1]^:100

임의의 스킴 사상 $S'\to S$ 에 대하여, 밑 전환 (즉, 당김의 사영 사상) $X\times _{S}S'\to S'$ 은 항상 (위상 공간 사이의 함수로서) 닫힌 함수이다.

두 스킴 $X$ , $S$ 사이의 사상 $f\colon X\to S$ 가 다음 조건을 만족시킨다면 고유 사상이라고 한다.^[1]^:100

보편 닫힌 사상이다.
유한형 사상이다.
분리 사상이다.

대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 대수다양체 $X$ 에 대하여, 만약 한 점으로 가는 사상 $X\to \operatorname {Spec} K$ 가 고유 사상이라면, $X$ 를 완비 대수다양체(完備代數多樣體, 영어: complete variety)라고 한다.^[1]^:105 이는 위상 공간의 콤팩트성에 대응하는 조건이다. 위상 공간 $X$ 의 경우, 한 점을 갖는 위상 공간으로의 사상 $X\to \{\bullet \}$ 이 고유 함수인 것은 $X$ 가 콤팩트 공간인 것과 동치이기 때문이다.

값매김 조건

고유성의 값매김 조건(영어: valuative criterion of properness)에 따르면, 임의의 스킴 $X$ 와 국소 뇌터 스킴 $Y$ 사이의 준콤팩트 분리 유한형 사상 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[2]^{:144, Théorème 7.3.8}^[1]^{:101, Theorem II.4.7}

$f$ 는 고유 사상이다.
임의의 값매김환 $R$ 에 대하여, 자연스러운 포함 관계 $i\colon \operatorname {Spec} \operatorname {Frac} R\to \operatorname {Spec} R$ 에 대한 오른쪽 유일 올림 성질을 만족시킨다. 즉, 임의의 값매김환 $R$ , 임의의 사상 $x\colon \operatorname {Spec} R\to X$ 및 임의의 사상 ${\bar {y}}\colon \operatorname {Spec} R\to X$ 에 대하여, 만약 ${\bar {y}}\circ i=f\circ x$ 라면, $x={\bar {x}}\circ i$ 인 사상 ${\bar {x}}\colon \operatorname {Spec} R\to X$ 가 항상 유일하게 존재한다.
${\begin{matrix}\operatorname {Spec} \operatorname {Frac} R&{\xrightarrow {x}}&X\\{\scriptstyle i}\downarrow &\nearrow {\scriptstyle \exists !{\bar {x}}}&\downarrow \scriptstyle f\\\operatorname {Spec} R&{\xrightarrow[{\bar {y}}]{}}&Y\end{matrix}}$

이 조건에서, "유일하게 존재한다"를 "존재한다면 유일하다"로 바꾸면, 분리 사상의 값매김 조건을 얻는다.

성질

모든 유한 사상은 고유 사상이다. 특히, 모든 닫힌 몰입은 고유 사상이다.

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

스킴 사상 ⊇ 국소 유한형 사상 ⊇ 유한형 사상 ⊇ 고유 사상 ⊇ 유한 사상 ⊇ 닫힌 몰입

완비 대수다양체

대수적으로 닫힌 체 위의 사영 대수다양체는 항상 완비 대수다양체이다. 낮은 차원에서는 그 역이 부분적으로 성립한다.

1차원: 대수적으로 닫힌 체 위의 모든 (기약) 대수 곡선은 사영 대수다양체이다.^[1]^{:105, Remark II.4.10.2(a)}
2차원: 대수적으로 닫힌 체 위의 모든 (기약) 비특이 대수 곡면은 사영 대수다양체이다.^[1]^{:105, Remark II.4.10.2(b)} 반면 특이점을 갖는, 사영 대수다양체가 아닌 복소수 완비 대수다양체가 존재한다.^[1]^{:105, Remark II.4.10.2(c)}^[3]^{:Theorem 1, Example 1}
3차원 이상에서는 히로나카의 예(영어: Hironaka’s example)로 불리는, 사영 대수다양체가 아닌 복소수 비특이 완비 대수다양체가 존재한다.^[1]^{:105, Remark II.4.10.2(d)}^[3]^{:Theorem 2}^[4]^[5]

복소수 위의 비특이 대수다양체 $X$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

완비 대수다양체이다.
$X$ 에 대응하는 복소다양체 $X^{\operatorname {an} }$ 는 콤팩트 공간이다.

나가타 콤팩트화 정리

스킴 $X$ 에서 뇌터 스킴 $S$ 로 가는 분리 유한형 사상 $f\colon X\to S$ 이 주어졌다고 하자. 나가타 콤팩트화 정리(영어: Nagata compactification theorem)^[6]^[7] 에 따르면, $f$ 는 다음과 같은 꼴로 분해될 수 있다.

f={\bar {f}}\circ \iota

여기서

${\bar {X}}$ 는 스킴이며, ${\bar {f}}\colon {\bar {X}}\to S$ 는 고유 사상이다.
$\iota \colon X\to {\bar {X}}$ 는 열린 몰입이다.

이에 따라, 뇌터 스킴 위의 모든 분리 유한형 사상은 고유 사상에 가깝다. 특히, 대수다양체의 경우, 모든 대수다양체는 완비 대수다양체의 자리스키 열린집합으로 나타내어진다.

보다 일반적으로, 이 정리는 $S$ 위의 조건을 뇌터 스킴에서 콤팩트 준분리 스킴으로 약화시켜도 성립한다.^[8]

참고 문헌

↑ ^가 ^나 ^다 ^라 ^마 ^바 ^사 ^아 Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.
↑ Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1961). “Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes”. 《Publications Mathématiques de l’IHÉS》 (프랑스어) 8. doi:10.1007/bf02699291. ISSN 0073-8301. MR 0217084.
↑ ^가 ^나 Nagata, Masayoshi (1958). “Existence theorems for non-projective complete algebraic varieties”. 《Illinois Journal of Mathematics》 (영어) 2 (4A): 490–498. ISSN 0019-2082. MR 0097406. Zbl 0081.37503.
↑ Hironaka, Heisuke (1960). 《On the theory of birational blowing-up》 (영어). 박사 학위 논문. 하버드 대학교. OCLC 76987668.
↑ Hironaka, Heisuke (1962). “An example of a non-Kählerian complex-analytic deformation of Kählerian complex structures”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 75: 190–208. JSTOR 1970426. MR 0139182.
↑ Nagata, Masayoshi (1962). “Imbedding of an abstract variety in a complete variety”. 《Journal of Mathematics of Kyoto University》 (영어) 2 (1): 1–10. ISSN 0023-608X. MR 0142549.
↑ Nagata, Masayoshi (1963). “A generalization of the imbedding problem of an abstract variety in a complete variety”. 《Journal of Mathematics of Kyoto University》 (영어) 3 (1): 89–102. ISSN 0023-608X. MR 0158892.
↑ Conrad, Brian (2007년 8월 10일). “Deligne’s notes on Nagata compactifications” (PDF) (영어).

바깥 고리

“Proper morphism”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Complete algebraic variety”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Proper map”. 《nLab》 (영어).
“Universally closed morphism”. 《nLab》 (영어).
“Valuative criterion of properness”. 《nLab》 (영어).
“Complete algebraic variety”. 《nLab》 (영어).

[Hartshorne-1] 가 ^나 ^다 ^라 ^마 ^바 ^사 ^아 Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.

[EGA2-2] Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1961). “Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes”. 《Publications Mathématiques de l’IHÉS》 (프랑스어) 8. doi:10.1007/bf02699291. ISSN 0073-8301. MR 0217084.

[Nagata-3] 가 ^나 Nagata, Masayoshi (1958). “Existence theorems for non-projective complete algebraic varieties”. 《Illinois Journal of Mathematics》 (영어) 2 (4A): 490–498. ISSN 0019-2082. MR 0097406. Zbl 0081.37503.

[4] Hironaka, Heisuke (1960). 《On the theory of birational blowing-up》 (영어). 박사 학위 논문. 하버드 대학교. OCLC 76987668.

[5] Hironaka, Heisuke (1962). “An example of a non-Kählerian complex-analytic deformation of Kählerian complex structures”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 75: 190–208. JSTOR 1970426. MR 0139182.

[6] Nagata, Masayoshi (1962). “Imbedding of an abstract variety in a complete variety”. 《Journal of Mathematics of Kyoto University》 (영어) 2 (1): 1–10. ISSN 0023-608X. MR 0142549.

[7] Nagata, Masayoshi (1963). “A generalization of the imbedding problem of an abstract variety in a complete variety”. 《Journal of Mathematics of Kyoto University》 (영어) 3 (1): 89–102. ISSN 0023-608X. MR 0158892.

[8] Conrad, Brian (2007년 8월 10일). “Deligne’s notes on Nagata compactifications” (PDF) (영어).

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 == 정의 ==
-두 [[스킴 (수학)|스킴]] <math>X</math>, <math>S</math> 사이의 사상 <math>f\colon X\to S</math>가 다음 조건을 만족시킨다면 '''보편 닫힌 사상'''(普遍닫힌寫像, {{llang|en|universally closed morphism}})이라고 한다.<ref name="Hartshorne">{{서적 인용 | 이름=Robin|성=Hartshorne| 날짜 = 1977|제목=Algebraic geometry|저자고리=로빈 하츠혼|고리=|출판사=Springer| isbn =  978-0-387-90244-9|mr=0463157 | zbl = 0367.14001 | 언어=en|doi=10.1007/978-1-4757-3849-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=52|issn=0072-5285}}</ref>{{rp|100}}
+[[스킴 사상]] <math>X\to S</math>가 다음 조건을 만족시킨다면 '''보편 닫힌 사상'''(普遍닫힌寫像, {{llang|en|universally closed morphism}})이라고 한다.<ref name="Hartshorne">{{서적 인용 | 이름=Robin|성=Hartshorne| 날짜 = 1977|제목=Algebraic geometry|저자고리=로빈 하츠혼|고리=|출판사=Springer| isbn =  978-0-387-90244-9|mr=0463157 | zbl = 0367.14001 | 언어=en|doi=10.1007/978-1-4757-3849-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=52|issn=0072-5285}}</ref>{{rp|100}}
-* 임의의 스킴 사상 <math>Y\to S</math>에 대하여, [[올곱]]의 사영 사상 <math>X\times_SY\to Y</math>은 항상 ([[위상 공간 (수학)|위상 공간]] 사이의 함수로서) [[닫힌 함수]]이다.
+* 임의의 [[스킴 사상]] <math>S'\to S</math>에 대하여, 밑 전환 (즉, [[당김 (범주론)|당김]]의 사영 사상) <math>X\times_SS'\to S'</math>은 항상 ([[위상 공간 (수학)|위상 공간]] 사이의 함수로서) [[닫힌 함수]]이다.
 두 [[스킴 (수학)|스킴]] <math>X</math>, <math>S</math> 사이의 사상 <math>f\colon X\to S</math>가 다음 조건을 만족시킨다면 '''고유 사상'''이라고 한다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|100}}
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 [[대수적으로 닫힌 체]] <math>K</math> 위의 [[대수다양체]] <math>X</math>에 대하여, 만약 한 점으로 가는 사상 <math>X\to\operatorname{Spec}K</math>가 고유 사상이라면, <math>X</math>를 '''완비 대수다양체'''(完備代數多樣體, {{llang|en|complete variety}})라고 한다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|105}} 이는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 [[콤팩트 공간|콤팩트성]]에 대응하는 조건이다. 위상 공간 <math>X</math>의 경우, 한 점을 갖는 위상 공간으로의 사상 <math>X\to\{\bullet\}</math>이 [[고유 함수]]인 것은 <math>X</math>가 [[콤팩트 공간]]인 것과 동치이기 때문이다.
+=== 값매김 조건 ===
+'''고유성의 값매김 조건'''({{llang|en|valuative criterion of properness}})에 따르면, 임의의 스킴 <math>X</math>와 [[국소 뇌터 스킴]] <math>Y</math> 사이의 [[준콤팩트 함수|준콤팩트]] [[분리 사상|분리]] [[유한형 사상]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="EGA2">{{저널 인용
+       | last = Grothendieck
+       | first = Alexandre
+       | last2 = Dieudonné
+       | first2 = Jean
+       | author2-link = 장 디외도네
+       | year = 1961
+       | title = Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes
+       | journal = Publications Mathématiques de l’IHÉS| issn= 0073-8301
+       | volume = 8
+       | mr = 0217084
+       | url = http://www.numdam.org/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1961__8_
+       | doi = 10.1007/bf02699291 | 언어=fr
+      }}</ref>{{rp|144, Théorème 7.3.8}}<ref name="Hartshorne"/>{{rp|101, Theorem II.4.7}}
+* <math>f</math>는 고유 사상이다.
+* 임의의 [[값매김환]] <math>R</math>에 대하여, 자연스러운 포함 관계 <math>i\colon\operatorname{Spec}\operatorname{Frac}R\to\operatorname{Spec}R</math>에 대한 [[오른쪽 유일 올림 성질]]을 만족시킨다. 즉, 임의의 [[값매김환]] <math>R</math>, 임의의 사상 <math>x\colon\operatorname{Spec}R\to X</math> 및 임의의 사상 <math>\bar y\colon\operatorname{Spec}R\to X</math>에 대하여, 만약 <math>\bar y\circ i=f\circ x</math>라면, <math>x=\bar x\circ i</math>인 사상 <math>\bar x\colon\operatorname{Spec}R\to X</math>가 항상 유일하게 존재한다.
+*:<math>\begin{matrix}
+\operatorname{Spec}\operatorname{Frac}R&\xrightarrow x&X\\
+{\scriptstyle i}\downarrow&\nearrow{\scriptstyle\exists!\bar x}&\downarrow\scriptstyle f\\
+\operatorname{Spec}R&\xrightarrow[\bar y]{}&Y
+\end{matrix}</math>
+이 조건에서, "유일하게 존재한다"를 "존재한다면 유일하다"로 바꾸면, [[분리 사상]]의 값매김 조건을 얻는다.
 == 성질 ==
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 * 완비 대수다양체이다.
 * <math>X</math>에 대응하는 [[복소다양체]] <math>X^{\operatorname{an}}</math>는 [[콤팩트 공간]]이다.
-=== 값매김 조건 ===
-'''고유성의 값매김 조건'''({{llang|en|valuative criterion of properness}})에 따르면, 임의의 [[뇌터 스킴]] <math>X</math>와 [[스킴 (수학)|스킴]] <math>Y</math> 사이의 [[유한형 사상]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|101, Theorem II.4.7}}
-* <math>f</math>는 고유 사상이다.
-* 임의의 [[값매김환]] <math>R</math>에 대하여, 자연스러운 포함 관계 <math>i\colon\operatorname{Spec}\operatorname{Frac}R\to\operatorname{Spec}R</math>에 대한 [[오른쪽 유일 올림 성질]]을 만족시킨다. 즉, 임의의 [[값매김환]] <math>R</math>, 임의의 사상 <math>x\colon\operatorname{Spec}R\to X</math> 및 임의의 사상 <math>\bar y\colon\operatorname{Spec}R\to X</math>에 대하여, 만약 <math>\bar y\circ i=f\circ x</math>라면, <math>x=\bar x\circ i</math>인 사상 <math>\bar x\colon\operatorname{Spec}R\to X</math>가 항상 유일하게 존재한다.
-가환 그림은 다음과 같다.
-:<math>\begin{matrix}
-\operatorname{Spec}\operatorname{Frac}R&\xrightarrow x&X\\
-{\scriptstyle i}\downarrow&\nearrow{\scriptstyle\exists!\bar x}&\downarrow\scriptstyle f\\
-\operatorname{Spec}R&\xrightarrow[\bar y]{}&Y
-\end{matrix}</math>
-이 조건에서, "유일하게 존재한다"를 "존재한다면 유일하다"로 바꾸면, [[분리 사상]]의 값매김 조건을 얻는다.
 === 나가타 콤팩트화 정리 ===