운동량 사상

심플렉틱 기하학에서, 운동량 사상(運動量寫像, 영어: momentum map 모멘텀 맵^[*], 영어: moment map 모먼트 맵^[*])은 심플렉틱 다양체 위의 군의 작용을 생성하는 해밀토니언이다. 해밀턴 역학에서의 운동량과 각운동량을 일반화한 것이다.

정의

$(M,\omega )$가 심플렉틱 다양체라고 하고, $G$가 리 군이라고 하고, 그 리 대수를 ${\mathfrak {g}}$라고 하자. 군 표현 $\rho \colon G\to \operatorname {Ham} (M,\omega )$가 주어졌다고 하자. 여기서 $\operatorname {Ham} (M,\omega )$는 심플렉틱 자기동형사상(심플렉틱 형식 $\omega$를 보존하는 미분자기동형사상 $M\to M$)들의 군이다.

리 대수의 원소 $\xi \in {\mathfrak {g}}$에 대하여, $M$ 위에는 $G$의 작용의 무한소 생성원인 다음과 같은 벡터장 $v_{\xi }$가 존재한다.

$v_{\xi }=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\rho (\exp(t\xi ))(x)$

$G$의 작용 $\rho$의 운동량 사상 $\mu \colon M\to {\mathfrak {g}}^{*}$는 임의의 $\xi \in {\mathfrak {g}}$에 대하여 다음을 만족시키는 함수다.

$d\langle \mu ,\xi \rangle =\omega (v_{\xi },\cdot )$

이를 지표 표기법으로 쓰면 다음과 같다.

$\partial _{j}\mu _{a}=\omega _{ij}v_{a}^{i}$

여기서 $i,j$는 접다발 $TM$의 지표이고, $a$는 리 대수 ${\mathfrak {g}}$의 지표다.

심플렉틱 몫공간

$G$가 콤팩트 리 군일 경우, 부분공간 $\mu ^{-1}(0)\subset M$은 $G$의 작용에 대하여 불변이다. 이 경우 $\mu ^{-1}(0)/G$는 $M$의 심플렉틱 구조를 물려받는다. 즉, 몫공간 $\mu ^{-1}(0)/G$는 심플렉틱 다양체를 이룬다. 이를 심플렉틱 몫공간(영어: symplectic quotient) 또는 마스덴-와인스타인 몫공간(영어: Marsden-Weinstein quotient)이라고 하며, $M/\!/G$라고 쓴다. 이 경우

$\dim(M/\!/G)=\dim M-2\dim G$

이다.

켈러 몫공간

켈러 다양체는 심플렉틱 구조 및 복소 구조를 갖춘다. 켈러 다양체 $(M,\omega ,J)$ 위에 콤팩트 리 군 $G$가 작용하고, 이 작용이 심플렉틱 구조 $\omega$ 및 복소 구조 $J$를 보존한다고 하자. 그렇다면 이에 해당하는 운동량 사상 $\mu \colon M\to {\mathfrak {g}}^{*}$이 존재하며,

$M/\!/G=\mu ^{-1}(0)/G$

는 켈러 다양체이다.

초켈러 몫공간

초켈러 다양체의 경우에도 몫공간을 정의할 수 있다. 초켈러 다양체 $M$은 세 개의 선형독립 심플렉틱 구조 $\omega _{I}$ ($I=1,2,3$)을 가진다. 군의 작용 $G\times M\to M$이 세 개의 심플렉틱 구조를 모두 보존시킨다고 하자. 그렇다면 이에 대한 세 개의 서로 다른 운동량 사상 $\mu _{I}\colon M\to {\mathfrak {g}}^{*}$이 존재한다. 이들을 합쳐서

$\mu \colon M\to {\mathfrak {g}}^{*}\times \mathbb {R} ^{3}$

을 정의하자. 그렇다면

$M/\!/\!/G=\mu ^{-1}(0)/G$

는 초켈러 다양체를 이룬다. 그 차원은

$\dim _{\mathbb {R} }(M/\!/\!/G)=\dim _{\mathbb {R} }M-4\dim _{\mathbb {R} }G$

이다.

예

$G$가 1차원 아벨 리 군 $\mathbb {R}$이라고 하자. 그렇다면 $\mu$는 해밀턴 벡터장(영어: Hamiltonian vector field) $v$를 생성시키는 해밀토니언이다.

참고 문헌

• Ortega, Juan-Pablo; Tudor S. Ratiu (2004). 《Momentum Maps and Hamiltonian Reduction》. Progress in Mathematics 22. Birkhäuser. doi:10.1007/978-1-4757-3811-7. ISBN 978-0-8176-4307-2. 
• Marsden, Jerrold; Alan Weinstein (1974년 2월). “Reduction of symplectic manifolds with symmetry”. 《Reports on Mathematical Physics》 5 (1): 121–130. doi:10.1016/0034-4877(74)90021-4. ISSN 0034-4877. 
• Rovi, Ana (2011년 8월 31일). 《Kähler and symplectic manifolds: quotient constructions》 (PDF). 석사 학위 논문. University of Oxford. 
• Ortega, Juan-Pablo; Tudor S. Ratiu (2004년 7월). “Symmetry reduction in symplectic and Poisson geometry”. 《Letters in Mathematical Physics》 69 (1): 11–60. doi:10.1007/s11005-004-0898-x. ISSN 0377-9017.