화살집 (수학)
그래프 이론과 범주론에서 화살집(영어: quiver 퀴버[*])은 유향 그래프의 개념의 일반화이며, 유향 그래프와 다중 그래프를 합친 것으로 여길 수 있다.[1][2] 즉, 모든 변은 방향을 가지며, 두 꼭짓점 사이에 임의의 수의 변이 존재할 수 있다.
정의[편집]
기초적 정의[편집]
화살집 은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
- 집합 . 그 원소를 꼭짓점(-點)이라고 한다.
- 집합 . 그 원소를 변(邊)이라고 한다.
- 함수 . 변 에 대하여, 를 의 시점(始點, 영어: source, start)이라고 하며, 를 의 종점(終點, 영어: target)이라고 한다.
두 화살집 , 사이의 사상은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
- 함수
- 함수
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
범주론적 정의[편집]
다음과 같은 작은 범주 를 생각하자.
- 의 대상은 와 두 개이다.
- 의 사상은 항등 사상 및 이다.
그렇다면, 화살집은 위의 준층
보다 일반적으로, 에 대하여, 다음과 같은 작은 범주 를 생각할 수 있다.
- 의 대상은 이다.
- 의 사상은 다음과 같은 사상들의 합성으로 주어진다.
- 즉, 이다 ().
- 이들은 다음과 같은 항등식을 만족시킨다.
이 경우, 위의 준층은 -초화살집(영어: -hyperquiver)이라고 한다.
이 경우, 1-초화살집은 화살집이며, 0-초화살집은 집합이다.
연산[편집]
모든 작은 범주는 (사상 합성과 항등 사상을 망각하면) 망각 함자를 통해 화살집을 이룬다. 이는 작은 범주의 범주 에서 화살집의 범주 로 가는 함자를 이룬다.
이는 왼쪽 수반 함자
를 가지며, 이를 화살집으로 생성되는 자유 범주(영어: free category generated by a quiver)라고 한다. 구체적으로, 화살집 에 대응하는 자유 범주 는 다음과 같다.
성질[편집]
화살집의 범주는 준층 범주이므로 그로텐디크 토포스를 이룬다.
표현[편집]
체 계수의, 화살집 의 표현(表現, 영어: quiver representation) 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
자연스럽게 계수의 의 표현의 범주 를 정의할 수 있다. 이는 아벨 범주를 이룬다. 이는 사실 위의 화살집 대수 (로 생성되는 자유 범주의 범주 대수) 위의 왼쪽 가군 범주 와 동치이다.
역사[편집]
‘화살집’(독일어: Köcher 쾨허[*])이라는 용어는 화살집이 여러 개의 “화살”(즉, 방향을 갖는 변)들을 포함하기 때문에 붙었으며, 피에르 가브리엘(프랑스어: Pierre Gabriel, 1933~2015)이 1972년 논문[3]에서 도입하였다. 이 논문에서 가브리엘은 다음과 같이 적었다.
“ |
Für einen solchen 4-Tupel schlagen wir die Bezeichnung Köcher vor, und nicht etwa Graph, weil letzterem Wort schon zu viele verwandte Begriffe anhaften. |
” |
— [3]:71, §1.1
|
참고 문헌[편집]
- ↑ Derksen, Harm; Weyman, Jerzy (2005년 2월). “Quiver representations” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 52 (2): 200–206. ISSN 0002-9920. Zbl 1143.16300.
- ↑ Savage, Alistair (2006). 〈Finite-dimensional algebras and quivers〉. Françoise, Jean-Pierre; Naber, Gregory L.; Tsou Sheung Tsun. 《Encyclopedia of Mathematical Physics. Volume 2》 (영어). Elsevier. 313–322쪽. arXiv:math/0505082. Bibcode:2005math......5082S. doi:10.1016/B0-12-512666-2/00418-1. ISBN 978-0-12-512666-3. Zbl 1170.00001.
- ↑ 가 나 Gabriel, Peter (1972). “Unzerlegbare Darstellungen Ⅰ”. 《Manuscripta Mathematica》 (독일어) 6: 71–103. doi:10.1007/BF01298413. ISSN 0025-2611.
외부 링크[편집]
- “Quiver”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Tits quadratic form”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Quiver”. 《nLab》 (영어).
- “Directed graph”. 《nLab》 (영어).
- “Free category”. 《nLab》 (영어).
- “Globe category”. 《nLab》 (영어).
- “Globular set”. 《nLab》 (영어).
- “Are quivers useful outside of representation theory?”. 《Math Overflow》 (영어).
- “Why did Gabriel invent the term “quiver”?”. 《Math Overflow》 (영어).
- “Why are (representations of) quivers such a big deal?”. 《Stack Exchange》 (영어).