대수기하학에서 호지 구조(Hodge構造, 영어: Hodge structure)는 켈러 다양체 위에 호지 이론으로 주어지는 코호몰로지의 분해와 같은 성질들을 만족시키는 벡터 공간의 분해이다.
무게가
인 순수 호지 구조(純粹Hodge構造, 영어: pure Hodge structure)
는 다음과 같은 데이터로 구성된다.[1]:Definition 1
- 자유 아벨 군
![{\displaystyle H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b)
- 복소수 벡터 공간의 유한 감소 여과
![{\displaystyle H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} =F^{0}\supseteq F^{1}\supseteq \cdots \supseteq F^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76e220708ce432d3464557fdd446a52e8ce04956)
이는 다음 성질을 만족시켜야 한다.
이라면,
, ![{\displaystyle F^{p}\oplus {\bar {F}}^{q}=H\otimes \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82a6d4de9e0baef6900cff91636f34a92866e99e)
순수 호지 구조
에 대하여, 다음과 같은 벡터 공간들을 정의한다.
![{\displaystyle H^{p,q}=F^{p}\cap {\bar {F}}^{q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0abae1bd4b03dd9050610d55b2aae720225df9f4)
그렇다면 다음이 성립한다.
![{\displaystyle H\otimes \mathbb {C} =H^{0,n}\oplus H^{1,n-1}\oplus \cdots \oplus H^{n,0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb07bed66ffad8dfd43bde3860a151c8d9ce3523)
![{\displaystyle {\bar {H}}^{p,q}\cong H^{q,p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e85ff34335e39a4c9dd9ab1003b7046e473e4c1)
무게
의 순수 호지 구조
의 호지 수(Hodge數, 영어: Hodge number)
는 다음과 같다.
![{\displaystyle h^{p,n-p}=\dim _{\mathbb {C} }H^{p,q}=\dim _{\mathbb {C} }\operatorname {gr} _{F}^{p}(H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c520ba04e8b0a7aa7dc9ab158f8192a57e7af64a)
순수 호지 구조는 복소수 벡터 공간
위의, 복소수 곱셈군
의 표현으로도 정의할 수 있다. 이 경우,
는
의 작용이
의 꼴인 성분이다.
같은 무게의 두 순수 호지 구조 사이의 사상(寫像, 영어: morphism)
은 다음과 같은 성질을 만족시키는 아벨 군 준동형이다.
![{\displaystyle f(H^{p,q})\subset \bigoplus _{i\geq 0}H'^{p+i,q-i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1ff64def10d52ce26c2c24714c21d308b0c2a16)
무게
의 두 개의 순수 호지 구조
,
이 주어졌을 때, 직합
역시 무게
의 순수 호지 구조를 이룬다.
무게
의 순수 호지 구조
와 무게
의 순수 호지 구조
이 주어졌을 때, 텐서곱
은 무게
의 순수 호지 구조를 이룬다.
무게
의 순수 호지 구조
위의 극성화(極性化, 영어: polarization)
는 다음 조건들을 만족시키는,
위의 정수 이차 형식이다.
![{\displaystyle Q^{\mathbb {C} }(a,b)=(-1)^{k}\mathbb {Q} ^{\mathbb {C} }(b,a)\qquad \forall a,b\in H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98e50f39f3df3ad347ab9eff08c2caacd8f42cb8)
![{\displaystyle Q^{\mathbb {C} }(a,b)=0\forall a\in H^{p,q},\;b\in H^{p',q'},\;(p,q)\neq (q',p')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/981db768853006d2c5c70ee32314851b03524b00)
![{\displaystyle i^{p-q}Q(a,{\bar {a}})\in \mathbb {R} ^{+}\forall a\in H^{p,q}\setminus \{0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56fec147d88d1b7a8f835f93b3da434e60442bcd)
혼합 호지 구조(混合Hodge構造, 영어: mixed Hodge structure)
는 다음과 같은 데이터로 구성된다.[1]:Definition 10(1)
- 아벨 군
![{\displaystyle H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b)
위의, 복소수 벡터 공간들의 유한 감소 여과
. 이를 호지 여과(Hodge濾過, 영어: Hodge filtration)라고 한다.
위의, 유리수 벡터 공간들의 유한 증가 여과
. 이를 무게 여과(-濾過, 영어: weight filtration)라고 한다.
이는 다음을 만족시켜야 한다.
- 모든
에 대하여,
위의 감소 여과
는 무게
의 순수 호지 구조를 이룬다.
혼합 호지 구조 위의 극성화는 무게 여과의 각 등급 성분에 주어지는 극성화로 구성된다.
혼합 호지 구조
의 호지 수(Hodge數, 영어: Hodge number)
는 다음과 같다.[1]:Definition 10(3)
![{\displaystyle h^{p,q}=\dim _{\mathbb {C} }\operatorname {gr} _{F}^{p}\operatorname {gr} _{p+q}^{W}(H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f43b36ca38dd447349b11a152253c339ff250ae)
두 혼합 호지 구조
,
사이의 사상(寫像, 영어: morphism)
은 다음과 같은 성질을 만족시키는, 아벨 군의 준동형이다.
![{\displaystyle f(F^{p})\subseteq F'^{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/794613fa8820ce878e124dc192d4dbf0e2b1ecf4)
![{\displaystyle f(W_{k}H)\subseteq W'_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/311855490565e0b981dab03f31e6acd9bcf500f3)
혼합 호지 구조와 그 사상들의 범주는 아벨 범주를 이룬다. 이 범주에서의 핵과 여핵은 (망각 함자를 통해) 복소수 벡터 공간에서의 핵 · 여핵과 일치한다. 또한, 이 범주는 텐서곱을 가지며, 텐서곱을 통하여 단나카 범주(영어: Tannakian category)를 이룬다.
콤팩트 켈러 다양체 (또는 복소수체 위의 비특이 완비 사영 대수다양체)
의 복소수 계수 특이 코호몰로지
는 호지 이론에 의하여 다음과 같이 분해된다.
![{\displaystyle H^{k}(X;\mathbb {Z} )\otimes \mathbb {C} =\bigoplus _{p+q=k}H^{p,q}(X)\qquad \forall k=0,1,\dots ,n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb42248dfcd0aa9ef4341a3f4bd2d97e810e389e)
이는 무게
의 순수 호지 구조를 이룬다. 또한, 모든 차수의 코호몰로지들의 직합
![{\displaystyle H(X;\mathbb {Z} )=\bigoplus _{n}H^{n}(X;\mathbb {Z} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f16690ac28d6453124a5d8af07d34507331fcc0)
은 혼합 호지 구조를 이룬다. 여기서 무게 여과는
![{\displaystyle W_{k}=\bigoplus _{i\leq k}H^{i}(X;\mathbb {Z} )\otimes \mathbb {Q} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c2313286346bedf9e2e4186188b4468c04c8e32)
이며, 호지 여과는
![{\displaystyle F^{p}=\bigoplus _{i\geq p}H^{i,n-i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d43e6574f31c420509106af791ced14d84206a54)
이다.
두 콤팩트 켈러 다양체 사이의 정칙 사상
은 순수 호지 구조의 사상
![{\displaystyle f^{*}\colon H^{n}(M')\to H^{n}(M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff36ad44e279e00538a0904ca3b2b622e187abef)
을 유도한다.[1]:Example 7
(완비 대수다양체가 아닐 수 있는) 복소수 비특이 대수다양체
의
차 특이 코호몰로지
위에는 자연스럽게 혼합 호지 구조가 존재하며, 무게 여과에 따라
위에 존재하는 무게는
이다.[1]:Theorem 8[2][3]
![{\displaystyle \operatorname {gr} _{n}^{W}H^{k}(X;\mathbb {Q} )\neq 0\implies k\leq n\leq \min\{2\dim _{\mathbb {C} }U,2k\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/607f114071986b690e39beddeefaf824bbdd10a0)
또한, 이는 함자적이다. 즉, 이는 복소수 비특이 대수다양체의 범주의 반대 범주에서, 혼합 호지 구조의 범주로 가는 함자를 이룬다.
비특이 사영 대수다양체
의 닫힌 비특이 부분다양체
가 주어진다면, 대수적 위상수학에 따라서 다음과 같은 (상대) 특이 코호몰로지의 (아벨 군으로서의) 긴 완전열이 존재한다.
![{\displaystyle \cdots \to H^{i}(X,Y)\to H^{i}(X)\to H^{i}(Y)\to H^{i+1}(X,Y)\to H^{i+1}(X)\to \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d212d3fd2356d5344e7c511c48615a973fe7f904)
혼합 호지 구조 함자에 따라서, 이는 혼합 호지 구조의 긴 완전열을 이룬다.[1] 이 경우
는 순수 호지 구조이지만,
및
는 순수 호지 구조가 아닐 수 있다.
보다 일반적으로, (특이점을 가질 수 있는) 임의의 복소수 준사영 대수다양체에 대해서도 혼합 호지 구조를 자연스럽게 정의할 수 있다.[4] 일부 경우 이는 미분 형식으로 계산할 수 있다.[5]
호지 구조의 변동(Hodge構造의變動, 영어: variation of Hodge structure)은 대략 어떤 복소다양체로 매개변수화된 호지 구조들의 족이다. 필립 오거스터스 그리피스가 도입하였다.[6][7][8]
호지 가군(Hodge加群, 영어: Hodge module)은 대략 "호지 구조들의 층"으로 생각할 수 있다. 사이토 모리히코(일본어: 斎藤 盛彦)가 도입하였다.[9]
임의의 아벨 군
에, 다음과 같이 자명하게 무게 0의 순수 호지 구조를 줄 수 있다.
![{\displaystyle H^{0,0}=H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2d1b34ddb3c3014ecd94eee83b07c3e316c1cd9)
![{\displaystyle F^{0}=H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64de40c5b1584bc9633fdfac76c40c1d5b2f7aad)
만약 호지 구조의 차수
가 둘 다 음이 아닌 정수라면 이는 무게 0의 유일한 순수 호지 구조이다.
아벨 군
위의, 무게 1의 순수 호지 구조는 (만약 차수
가 모두 음이 아닌 정수라면) 실수 벡터 공간
위의 복소구조
![{\displaystyle J\colon H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} \to H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0300b4b87542e229be369d1dcdf0e58886ebed81)
![{\displaystyle J^{2}=-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82d2bb45f5120f5c885585143e126eb044268126)
와 같다. 이 경우,
![{\displaystyle H^{1,0}=\{v\in H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} \colon J^{\mathbb {C} }v=iv\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9395d3871e55d8ee70e0d840e5960b3c5d3fbff7)
![{\displaystyle H^{0,1}=\{v\in H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} \colon J^{\mathbb {C} }v=-iv\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fc110a3174d2e8d576900d0f2db6680b2c33a54)
이다. 여기서
![{\displaystyle J^{\mathbb {C} }\colon H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} \to H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc318eb95c1eaefeab332dce1f598bf04c8cc90b)
![{\displaystyle (J^{\mathbb {C} })^{2}=-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/167f703a7f0b40d3594b151f5285d78fdf74910f)
는
의 복소수체로의 선형 확대이다.
보다 일반적으로, 임의의 아벨 군
위에, 짝수 무게
의 자명한 순수 호지 구조를 다음과 같이 줄 수 있다.[1]:Example 1
![{\displaystyle H^{p,q}={\begin{cases}H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} &(p,q)=(n,n)\\\{0\}&(p,q)\neq (n,n)\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94ce879019c21282f5ed7fa8a32a633fc7cd5f0b)
테이트 호지 구조(영어: Tate Hodge structure)
는
위에 정의되는, 무게
의 순수 호지 구조이다.[1]:Example 2 이의 텐서곱을 취하여 얻는, 자명한 무게
의 호지 구조는
으로 쓴다.
무게
의 순수 호지 구조
및 정수
가 주어졌을 때, 테이트 뒤틂(영어: Tate twist)
는 다음과 같은, 무게
의 순수 호지 구조이다.[1]:Example 3
- 아벨 군으로서,
![{\displaystyle H(r)=H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce3dffde50632947ab6aeb859f38ab377b57a4c1)
![{\displaystyle H(r)^{p,q}=H^{p-r,q-r}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae120091700cf9efe3dc71a8ce3514fd279d61af)
복소수 타원 곡선
에 서로 다른 닫힌 점
가 주어졌다고 하자. 이 경우, 점을 제거한 타원 곡선의 혼합 호지 구조는 다음과 같다.[1]:Example 18 우선, 특이 코호몰로지는 다음과 같다.
![{\displaystyle H^{0}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd7bb92fcd6c1204a403e48204b613d246fcc52)
![{\displaystyle H^{1}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Q} ^{k+1}\qquad (k>1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40d2e4a5734ee2df0c4cafe2b2f57b857b9e983f)
![{\displaystyle H^{2}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )=0\qquad (k>0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6788e076c45c0691f46e8cecd49b089eb1d73351)
상대 코호몰로지 긴 완전열을 사용하면 다음과 같다.
![{\displaystyle 0\to H^{0}(E,E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )=0\to H^{0}(E;\mathbb {Q} )\to H^{0}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )\to H^{1}(E,E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )=0\to H^{1}(E;\mathbb {Q} )\to H^{1}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )\to H^{2}(E,E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )\to H^{2}(E;\mathbb {Q} )\to H^{2}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbbf60ff054505aa9a7af83b2d92576fef7c9949)
즉, 이는 다음과 같이 분해된다.
![{\displaystyle 0\to H^{0}(E;\mathbb {Q} )\to H^{0}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )\to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3567d08bb5e7ea493cfcea4515551487255100f7)
![{\displaystyle 0\to H^{1}(E;\mathbb {Q} )\to H^{1}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )\to H^{2}(E,E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )\to H^{2}(E;\mathbb {Q} )\to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1a3acae4a29c6a3a5a41fec4800209f264a03be)
긴 완전열의 사상은 혼합 호지 구조의 사상을 이루므로, 이를 무게에 따라 분해하면 다음과 같다.
![{\displaystyle 0\to H^{1}(E;\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Q} ^{2}\to \operatorname {gr} _{1}^{W}H^{1}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )\to \operatorname {gr} _{1}^{W}H^{2}(E,E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d668777ed7a55ee67a53438b15b61de9540e146)
![{\displaystyle 0\to \operatorname {gr} _{2}^{W}H^{1}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )\to H^{2}(E,E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Q} ^{k}\to H^{2}(E;\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Q} \to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28c9309ece970e5988008b22ff36cc6306552965)
즉,
![{\displaystyle \operatorname {gr} _{0}^{W}H^{0}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )=H^{0}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b3cdfa77a43877568234d62456e2ee438e84aae)
![{\displaystyle \dim _{\mathbb {Q} }\operatorname {gr} _{1}^{W}H^{1}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a4bcbef2ee6ee1fda9e3b9a735527e3907d3e61)
![{\displaystyle \operatorname {gr} _{2}^{W}H^{1}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )=H^{2}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1b811b081db5edd212888fa486d9cea6940394f)
이며, 구멍이 뚫린 타원 곡선의 1차 코호몰로지의 혼합 호지 구조는 무게 1 및 2를 가진다.
대수다양체
가 두 개의 비특이 사영 대수다양체
과
의 합집합이며,
과
는 횡단적으로 교차한다면, 그 호지 구조를 다음과 같이 계산할 수 있다.[10]:§4 대수적 위상수학에 따르면, 특이 코호몰로지 위에 마이어-피토리스 완전열이 존재한다.
![{\displaystyle \cdots \to H^{i-1}(X_{1}\cap X_{2}){\xrightarrow {\delta _{i-1}}}H^{i}(X)\to H^{i}(X_{1})\oplus H^{i}(X_{2})\to H^{i}(X_{1}\cap X_{2}){\xrightarrow {\delta _{i}}}H^{i+1}(X)\to \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef0fa8f1d55e305603c7307c2aab2382a5e832cb)
이는 혼합 호지 구조의 완전열을 이룬다. 이 완전열에서
와
는 무게
의 순수 호지 구조를 가지지만,
는 일반적으로 무게
및
을 갖는 혼합 호지 구조이며, 구체적으로 다음과 같다.
![{\displaystyle W_{j}(H^{i}(X))={\begin{cases}H^{i}(X)&j\geq i\\\operatorname {im} \delta _{i-1}&j=i-1\\0&j<i-1\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6f99483cd81be0464db7f6544e59e59e2241c5a)
- ↑ 가 나 다 라 마 바 사 아 자 차 Filippini, Sara Angela; Ruddat, Helge; Thompson, Alan. 〈An introduction to Hodge structures〉. 《Calabi-Yau Varieties: Arithmetic, Geometry and Physics》. Fields Institute Communications (영어). Springer. arXiv:1412.8499. ISSN 1069-5265.
- ↑ Deligne, Pierre (1971). 〈Théorie de Hodge I〉 (PDF). 《Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nice, 1970)》 (프랑스어) 1. Gauthier-Villars. 425–430쪽. MR 0441965. 2015년 4월 2일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2015년 3월 8일에 확인함.
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