범주론에서 풍성한 범주(豐盛-範疇, 영어: enriched category)는 "사상 집합"이 집합 대신 다른 모노이드 범주의 대상이 될 수 있는, 범주의 개념의 일반화이다.
모노이드 범주
![{\displaystyle ({\mathcal {M}},\otimes \colon {\mathcal {M}}\times {\mathcal {M}}\to {\mathcal {M}},I\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {M}}),\alpha \colon ({\mathcal {M}}\otimes {\mathcal {M}})\otimes {\mathcal {M}}\Rightarrow {\mathcal {M}}\otimes ({\mathcal {M}}\otimes {\mathcal {M}}),\lambda \colon (I\otimes {\mathcal {M}})\Rightarrow \operatorname {Id} _{\mathcal {M}},\rho \colon ({\mathcal {M}}\otimes I)\Rightarrow \operatorname {Id} _{\mathcal {M}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d96f0734079f8c4d356f472f1e576e8886cdb5f)
가 주어졌다고 하자.
위의 풍성한 범주(영어: category enriched over
)
는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
- 모임
. 이 모임의 원소를
의 대상(영어: object)이라고 한다.
- 임의의
에 대하여,
.
- 임의의
에 대하여,
-사상
. 이는 항등 사상을 나타낸다.
- 임의의
에 대하여,
-사상
. 이는 사상의 합성을 나타낸다.
이 데이터는 다음 세 그림을 가환하게 만들어야만 한다.
- (사상 합성의 결합 법칙)
![{\displaystyle {\begin{matrix}\left(\hom _{\mathcal {C}}(Z,W)\otimes \hom _{\mathcal {C}}(Y,Z)\right)\otimes \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)&{\xrightarrow {\circ _{YZW}\otimes \operatorname {id} }}&\hom _{\mathcal {C}}(Y,W)\otimes \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)&{\xrightarrow {\circ _{XYW}}}&\hom _{\mathcal {C}}(X,W)\\\downarrow \scriptstyle \alpha &&&&\downarrow \scriptstyle \operatorname {id} \\\hom _{\mathcal {C}}(Z,W)\otimes \left(\hom _{\mathcal {C}}(Y,Z)\otimes \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)\right)&{\xrightarrow[{\operatorname {id} \otimes \circ _{XYZ}}]{}}&\hom _{\mathcal {C}}(Z,W)\otimes \hom _{\mathcal {C}}(X,Z)&{\xrightarrow[{\circ _{XZW}}]{}}&\hom _{\mathcal {C}}(X,W)\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d914b20763a206ec4ce0039c30ea0b993ae42899)
- (사상 합성의 왼쪽 항등원)
![{\displaystyle {\begin{matrix}I\otimes \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)&{\xrightarrow {\operatorname {id} _{Y}\otimes \operatorname {id} }}&\hom _{\mathcal {C}}(Y,Y)\otimes \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)\\&{\scriptstyle \lambda }\searrow &\downarrow \scriptstyle \circ _{XYY}\\&&\hom _{\mathcal {C}}(X,Y)\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5bdbc12ffefa15dd7802bf81a18a3f6cb8ee58b)
- (사상 합성의 오른쪽 항등원)
![{\displaystyle {\begin{matrix}\hom _{\mathcal {C}}(X,Y)\otimes I&{\xrightarrow {\operatorname {id} \otimes \operatorname {id} _{X}}}&\hom _{\mathcal {C}}(X,Y)\otimes \hom _{\mathcal {C}}(X,X)\\&{\scriptstyle \rho }\searrow &\downarrow \scriptstyle \circ _{XXY}\\&&\hom _{\mathcal {C}}(X,Y)\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e2ef08f7856e47edfbd5405c5002c3ccd2f5213)
풍성한 함자[편집]
모노이드 범주
위의 두 풍성한 범주
,
사이의
-풍성한 함자(영어:
-enriched functor)
는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
- 각 대상
에 대하여, 대상 ![{\displaystyle F(X)\in {\mathcal {D}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccfe0810cfe6f009afa4fbdd12107ec0cb639d9b)
- 두 대상
에 대하여,
속의 사상 ![{\displaystyle F_{XY}\colon \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)\to \hom _{\mathcal {D}}(F(X),F(Y))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e35eeb0ec934d5664967775cef3d40070f49d71)
이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.
- (항등원의 보존) 임의의 대상
에 대하여 다음 그림이 가환한다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}I\\{\scriptstyle \operatorname {id} _{X}}\downarrow &\searrow {\scriptstyle \operatorname {id} _{F(X)}}\\\hom _{\mathcal {C}}(X,X)&{\xrightarrow[{F_{XX}}]{}}&\hom _{\mathcal {D}}(F(X),F(X))\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/575c8079effb1651d0ac904242bee42658f33e79)
- (사상 합성의 보존) 임의의 대상
에 대하여 다음 그림이 가환한다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}\hom _{\mathcal {C}}(Y,Z)\otimes \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)&{\xrightarrow {\circ }}&\hom _{\mathcal {C}}(X,Z)\\{\scriptstyle F_{YZ}\otimes F_{XY}}\downarrow &&\downarrow \scriptstyle F_{XZ}\\\hom _{\mathcal {D}}(F(Y),F(Z))\otimes \hom _{\mathcal {D}}(F(X),F(Y))&{\xrightarrow[{\circ }]{}}&\hom _{\mathcal {D}}(F(X),F(Z))\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a37a0a6019095a384c0c68dc0438f9b5a50c0ec7)
국소적으로 작은 범주는 집합의 범주
위의 풍성한 범주와 같다.
n-범주[편집]
작은 범주의 범주
위의 풍성한 범주를 2-범주(영어: 2-category)라고 한다. 보다 일반적으로,
-범주의 범주
위의 풍성한 범주를
-범주(영어:
-category)라고 한다.
선형 범주[편집]
가환환
위의 가군들의 범주
는 텐서곱에 대하여 모노이드 범주를 이룬다. 이 위의 풍성한 범주는
-선형 범주(-線型範疇, 영어:
-linear category)라고 한다.
준가법 범주[편집]
특히,
(정수환)인 경우,
는 아벨 군의 범주
와 같다.
-풍성한 범주는 준가법 범주(準加法範疇, 영어: preadditive category)라고 하고,
-풍성한 함자는 가법 함자(加法範疇, 영어: additive functor)라고 한다.
준가법 범주는 항상 영 대상을 가지며, 유한 곱과 유한 쌍대곱이 일치한다.
가법 범주(영어: additive category)는 유한 완비 준가법 범주이다. (준가법 범주에서 유한 곱과 유한 쌍대곱이 일치하므로, 유한 완비 범주인 것은 유한 쌍대 완비 범주인 것과 동치이다.)
같이 보기[편집]
참고 문헌[편집]
외부 링크[편집]