음함수 정리

음함수 정리는 해석학의 정리로, 음함수 꼴로 표현된 어떤 함수가 양함수 꼴로 표현될 수 있을 조건을 제시하는 정리이다. 일반적으로 임의의 음함수는 항상 양함수로 표현될 수 없지만, 음함수 정리의 조건을 만족하는 함수는 항상 양함수 표현이 존재하여 양함수 꼴로 손쉽게 다룰 수 있게 된다. 다만 여기서 다루는 함수는 좋은 성질을 갖는 함수, 즉 연속적으로 미분가능한 함수에 국한된다.

공식화

n+m차원 유클리드 공간의 열린 부분집합 W에 대하여 함수 F = (F₁, ..., F_m) : W→R^m는 W 위에서 모든 변수에 대한 편도함수가 존재하고 그 편도함수들이 연속인 함수이다. 이제 어떤 x₀∈Rⁿ, y₀∈R^m, (x₀, y₀)∈W에 대하여 F(x₀, y₀) = 0이라 가정하자. 만약,

${\frac {\partial (F_{1},...,F_{m})}{\partial (y_{1},...,y_{m})}}(\mathbf {x} _{0},\mathbf {y} _{0})\neq 0$

이라면, x₀의 열린 근방 U⊂Rⁿ, y₀의 열린 근방 V⊂R^m 및 모든 변수에 대한 편도함수가 존재하고 그 편도함수들이 연속인 유일한 함수 f:U→V가 존재하여 f(x₀) = y₀이고 모든 x∈U에 대하여 F(x, f(x)) = 0을 만족한다.

예제

우선 간단한 이변수 함수의 예를 생각해 볼 수 있다. 다음과 같은 원을 표현하는 음함수에 대하여,

$x^{2}+y^{2}=1$

$F=x^{2}+y^{2}-1$ 으로 두면, ${\frac {\partial F}{\partial y}}(x_{0},y_{0})=2y_{0}$ 이 된다. 따라서, y ≠ 0인 경우에는 이 음함수의 양함수 표현이 존재한다. 이 표현은 y = 0인 점을 포함하지 않는 임의 y의 적당한 열린 근방을 공역으로 하는 양함수에 대하여 유일한데, 위쪽 반평면에서는 $y={\sqrt {1-x^{2}}}$ 이고, 아래쪽 반평면에서는 $y=-{\sqrt {1-x^{2}}}$ 가 된다.

참고 문헌

• 김락중 외, 《해석학 입문》, 경문사, 2007.