하이젠베르크 군

리 군론에서, 하이젠베르크 군(Heisenberg群, 영어: Heisenberg group)은 멱영 리 군의 하나이다. 양자역학에서 쓰인다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 표수가 2가 아닌 체 $K$
• $K$ 위의 심플렉틱 벡터 공간 $(V,\omega \colon V\times V\to K)$

그렇다면, $K$-벡터 공간

$V\oplus K$

위에 다음과 같은 군 연산을 주자.

$(\mathbf {u} ,s)\cdot (\mathbf {v} ,t)=(\mathbf {u} +\mathbf {v} ,s+t+\omega (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )/2)$

이는 군의 공리들을 만족시킴을 보일 수 있으며, 그 항등원은

$(\mathbf {0} ,0)$

이며, 그 역원은

$-(\mathbf {u} ,s)=(-\mathbf {u} ,-s)$

이다. 이 군을 V에 대한 하이젠베르크 군 $\operatorname {Heis} (V,\omega ;K)$라고 한다.

보통 $V$가 명시되어 있지 않은 경우, $n=1$인 경우에 해당한다. 즉, $\operatorname {Heis} (1;\mathbb {R} )\subset \operatorname {GL} (3;\mathbb {R} )$를 의미한다.

리 대수

표수가 2가 아닌 체 $K$ 위의 심플렉틱 벡터 공간 $(V,\omega )$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 벡터 공간 $V\oplus K$ 위에 다음과 같은 리 대수 구조를 줄 수 있다.

$[(\mathbf {u} ,s),(\mathbf {v} ,t)]=(\mathbf {0} ,\omega (\mathbf {u} ,\mathbf {v} ))\qquad \forall \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V,\;s,t\in K$

이를 하이젠베르크 리 대수(영어: Heisenberg Lie algebra) ${\mathfrak {heis}}(V,\omega ;K)$라고 한다.

$V$가 유한 $2n$ 차원일 때, 심플렉틱 기저 $({\mathsf {p}}_{i},{\mathsf {q}}^{i})_{i\in \{1,\dotsc ,n\}}\subseteq V$를 잡을 수 있다. $V\oplus K{\mathsf {c}}$ 위에서, 하이젠베르크 리 대수의 리 괄호는 다음과 같은 꼴이다.

$[{\mathsf {p}}_{i},{\mathsf {q}}^{j}]=\delta _{i}^{j}{\mathsf {c}}$

$[{\mathsf {p}}_{i},{\mathsf {c}}]=[{\mathsf {q}}_{i},{\mathsf {c}}]=0$

여기서 $\delta _{i}^{j}$는 크로네커 델타이다.

성질

하이젠베르크 군 $\operatorname {Heis} (V,\omega ;K)$는 아벨 군 $(V,+)$의 중심 확대이다. 즉, 다음과 같은 군들의 짧은 완전열이 존재한다.

$1\to K{\xrightarrow {t\mapsto (\mathbf {0} ,t)}}H(V){\xrightarrow {(\mathbf {v} ,t)\mapsto \mathbf {v} }}V\to 1$

마찬가지로, 다음과 같은 리 대수의 짧은 완전열이 존재한다.

$0\to K\to {\mathfrak {heis}}(V,\omega ;K)\to V\to 0$

여기서 $K$와 $V$는 아벨 리 대수이다.

표수 0의 체 위에서, 유한 차원 하이젠베르크 군은 멱영군이며, 하이젠베르크 리 대수는 멱영 리 대수이다.

위상수학적 성질

만약 $K\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$일 경우, 그 위의 유한 차원 하이젠베르크 군은 리 군을 이룬다. 이는 연결 단일 연결 멱영 리 군이며, (정의에 따라) 유클리드 공간과 미분 동형이다.

행렬 표현

표수 0의 체 $K$ 위의 내적 공간 $V$가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

$V^{*}\oplus V$

위에 다음과 같은, 표준적인 심플렉틱 벡터 공간 구조가 존재한다.

$\omega (\phi ,u)=-\omega (u,\phi )=\langle \phi |u\rangle \qquad \forall u\in V,\;\phi \in V^{*}$

$\omega (u,v)=\omega (\phi ,\chi )=0\qquad \forall u,v\in V,\;\phi ,\chi \in V^{*}$

그렇다면, 다음과 같은 군 준동형이 존재한다.

$\operatorname {Heis} (V^{*}\oplus V)\to \operatorname {GL} (K\oplus V\oplus K)$

$(\phi ,u,t)\mapsto {\begin{pmatrix}1&\phi &t+\langle \phi |u\rangle /2\\0&1_{V}&u\\0&0&1\end{pmatrix}}$

지수 사상

하이젠베르크 군 $\operatorname {Heis} (2n+1;K)$의 리 대수 ${\mathfrak {heis}}(2n+1;K)$는 다음과 같은 꼴의 행렬들로 구성된다.

${\begin{pmatrix}0&\mathbf {a} &c\\0&0_{n\times n}&\mathbf {b} \\0&0&0\end{pmatrix}}\in {\mathfrak {heis}}(2n+1;K)$

이 경우, 리 지수 사상은 다음과 같다.

$\exp {\begin{pmatrix}0&\mathbf {a} &c\\0&0_{n\times n}&\mathbf {b} \\0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&\mathbf {a} &c+(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )/2\\0&I_{n\times n}&\mathbf {b} \\0&0&1\end{pmatrix}}$

표현론

하이젠베르크 군의 군 표현론은 스톤-폰 노이만 정리에 따라 주어진다. 이 정리에 따라, 하이젠베르크 군 $\operatorname {Heis} (2n+1;\mathbb {R} )$의 비자명 유니터리 기약 표현은 (몇 가지의 기술적인 조건을 충족시킨다면) 르베그 공간 $\operatorname {L} ^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ 위의 다음과 같은 표현 $\rho _{\hbar }$와 동형이다.

$\rho _{\hbar }{\begin{pmatrix}1&p&t+pq/2\\0&I_{n\times n}&q\\0&0&1\end{pmatrix}}\colon \psi (x)\mapsto \exp(i(qx+\hbar (t+pq)/2))\psi (x+\hbar p)$

이를 리 대수 ${\mathfrak {h}}_{2n+1}$에 대하여 표기하면 다음과 같다.

$P_{i}\psi (x)=\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\psi (x)$

$Q_{i}\psi (x)=\mathrm {i} x_{i}\psi (x)$

$C\psi (x)=\mathrm {i} \hbar \psi (x)$

참고 문헌

• Binz, Ernst; Pods, Sonja (2008). 《The geometry of Heisenberg groups with applications in signal theory, optics, quantization, and field quantization》. Mathematical Surveys and Monographs (영어) 151. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4495-3. Zbl 1155.22001. 
• Thangavelu, Sundaram (1998). 《Harmonic analysis on the Heisenberg group》. Progress in Mathematics (영어) 159. Birkhäuser. doi:10.1007/978-1-4612-1772-5. ISBN 978-1-4612-7275-5. Zbl 0892.43001. 
• Howe, Roger Evans (1980). “On the role of the Heisenberg group in harmonic analysis”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 3 (2): 821. doi:10.1090/S0273-0979-1980-14825-9. ISSN 0273-0979. MR 578375. Zbl 0442.43002. 
• Semmes, Stephen (2003년 6월). “An introduction to Heisenberg groups in analysis and geometry” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 50 (6): 640–646. Zbl 1050.22012. 

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Heisenberg group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Jefferies, B.R.F. (2001). “Weyl calculus”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Heisenberg group”. 《nLab》 (영어). 
• 이철희. “하이젠베르크 군과 대수”. 《수학노트》. 
• Chafaï, Djalil (2011년 10월 8일). “Aspects of the Heisenberg group”. 《Libres pensées d’un mathématicien ordinaire》 (영어).