계승: 두 판 사이의 차이

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[[수학]]에서, [[자연수]]의 '''계승'''(階乘, {{문화어|차례곱}}, {{llang|en|factorial|팩토리얼}})은 1부터 그 수까지의 모든 자연수의 곱이다.
[[수학]]에서, '''계승'''(階乘, {{llang|en|factorial|팩토리얼}}, {{문화어|'''차례곱'''}})은 [[1]]부터 <math>n</math>까지의 연속된 [[자연수]]를 차례로 곱한 값이다. [[기호]]로는 <math>n!</math>과 같이 [[느낌표]]('''!''')를 사용하며, 이는 한국에서 간혹 "팩토리얼(줄여서 팩)"로 읽는 경우가 있다. 이를테면 3!은 "3팩(토리얼)"이 된다.


== 정의 ==
== 정의 ==
음이 아닌 정수 <math>n</math>의 '''계승''' <math>n!</math>은 다음과 같다.
계승 함수는 아래와 같이 형식적으로 정의한다.
:<math>n!=\prod_{k=1}^nk=n(n-1)(n-2)\cdots3\cdot2\cdot1</math>
특히, 0의 계승은 1이다.
:<math>0!=1</math>
처음 몇 계승은 다음과 같다.
:1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 39916800, 479001600, 6227020800, 87178291200, 1307674368000, 20922789888000, 355687428096000, 6402373705728000, 121645100408832000, 2432902008176640000, ... {{OEIS|A000142}}


=== 복소수의 계승 ===
:<math>n!=\prod_{k=1}^n k\qquad\mbox{for all }n \ge 0 \!</math>

예를 들면,
:<math>5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120</math>
따라서,
:<math>5! = 5 \times 4 \times 3! = 120</math>
:<math>5! = {}_5P_{2} \times 3! = 120</math>
:<math>5! = {}_5P_{2} \times (n-2)! = 120</math>
:<math>5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2! = 120</math>
:<math>5! = {}_5P_{3} \times (n-3)! = 120</math>
따라서,
:<math>n! = {}_nP_{k}\cdot (n-k)! </math>
:<math> {}_nP_{k}= {n! \over (n-k)!} </math>
또한 0에 대해서는
:<math>0! = 1 \ </math>
로 정의한다. 이 정의는 다음과 같은 이유에서 매우 유용하다.
* 계승의 [[점화식]] (''n'' + 1)! = ''n''! × (''n'' + 1) 이 ''n'' = 0 일 때까지 성립한다.
* 이 정의는 [[조합론]]에 등장하는 많은 공식에서 크기가 0인 집합에까지 식을 일반화한다.
* 팩토리얼(계승)의 정의는 [[순열]]의 정의를 만족한다.

'''이중 계승'''({{llang|en|double factorial}})은 다음과 같이 정의된다.
:<math>(2k-1)!! = \prod_{i=1}^k (2i-1)=\frac{(2k)!}{2^k k!}</math>
:<math>(2k)!!= \prod_{i=1}^k (2i) = 2^k k!</math>

=== 자연수가 아닌 경우의 정의 ===
{{본문|감마 함수}}
{{본문|감마 함수}}
[[파일:Generalized factorial function.svg|thumb|right|325px|[[감마 함수]]를 사용하여, 음의 정수가 아닌 복소수에 대하여 계승을 <math>z!=\Gamma(z+1)</math>으로 정의할 수 있다.]]
[[감마 함수]]를 통해 계승의 정의역을 음의 정수가 아닌 [[복소수]]까지 [[해석적 연속|확장]]할 수 있다. 감마 함수 <math>\Gamma</math>의 정의역은 <math>\mathbb C\setminus\{0,-1,-2,\dots\}</math>이며, 양의 실수부에서의 값은 다음과 같다.
:<math>\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\mathrm dt\qquad(\operatorname{Re}z>0)</math>
감마 함수와 계승의 관계는 다음과 같다.
:<math>n!=\Gamma(n+1)\qquad(n\in\mathbb N)</math>
이에 따라, 음의 정수가 아닌 복소수 <math>z</math>의 계승을 다음과 같이 정의할 수 있다.
:<math>z!=\Gamma(z+1)\qquad(z\in\mathbb C\setminus\{-1,-2,\dots\})</math>
특히, [[반정수]]의 계승은 다음과 같다.
:<math>(n-1/2)!=\sqrt\pi(2n-1)!!/2^n=\sqrt\pi\prod_{k=1}^n(k-1/2)\qquad(n\in\mathbb N)</math>


=== 기수의 계승 ===
자연수가 아닌 수에서도 [[감마 함수]]를 이용하여, 좀 더 일반적인 형태의 계승을 정의할 수 있다.
계승이 [[대칭군 (군론)|대칭군]]의 크기와 같다는 사실을 통해 계승을 임의의 [[기수 (수학)|기수]]까지 확장할 수 있다. 즉, 기수 <math>\kappa</math>의 계승 <math>\kappa!</math>는 다음과 같다.
:감마 함수는 <math>\Gamma</math>로 표시하고, z>-1일때 다음과 같다.
:<math>\kappa!=|\operatorname{Sym}(\kappa)|=
:<math>z!=\Gamma(z+1)=\int_{0}^{\infty} t^z e^{-t}\, dt \!</math>
\begin{cases}
\kappa(\kappa-1)(\kappa-2)\cdots3\cdot2\cdot1&\kappa<\aleph_0\\
2^\kappa&\kappa\ge\aleph_0
\end{cases}
</math>


=== 다중 계승 ===
마지막의 수식은 음수와 같은 예외를 포함한, [[복소수]] [[집합]]에서의 일반적인 계승을 나타낸다.
계승의 정의에서 연속된 자연수들을 곱하는 대신 법에 대하여 합동인 자연수들만 곱하면, '''다중 계승'''(多重階乘, {{llang|en|multifactorial}})의 정의를 얻는다. 즉, 양의 정수 <math>k</math>과 정수 <math>n>-k</math>가 주어졌을 때, <math>n</math>의 <math>k</math>중 계승은 다음과 같다. (이는 <math>k</math>번의 계승과 다른 개념이다.)
:<math>n\overbrace{!!\cdots!}^k=\prod_{i=0}^{\lfloor(n-1)/k\rfloor}(n-ik)</math>
특히, <math>-k<n\le0</math>일 경우 다음과 같다.
:<math>1=0\overbrace{!!\cdots!}^k=(-1)\overbrace{!!\cdots!}^k=(-2)\overbrace{!!\cdots!}^k=\cdots=(-(k-1))\overbrace{!!\cdots!}^k</math>
예를 들어, 일중 계승은 계승이다. 또한, '''이중 계승'''(二重階乘, {{llang|en|double factorial}})은 다음과 같다. 임의의 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여,
:<math>(2n)!!=2^nn!=\prod_{k=1}^n2k=(2n)(2n-2)(2n-4)\cdots6\cdot4\cdot2</math>
:<math>(2n-1)!!=(2n)!/(2^nn!)=\prod_{k=1}^n(2k-1)=(2n-1)(2n-3)(2n-5)\cdots5\cdot3\cdot1</math>
특히, <math>1=0!!=(-1)!!</math>이다.


처음 몇 이중·삼중·사중 팩토리얼은 각각 다음과 같다.
특히, 자연수 + 0.5 꼴의 수에서는
:1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10395, ... {{OEIS|A006882}}
:<math>n!=\sqrt{\pi}\times \prod_{k=0.5}^n k</math>
:1, 1, 2, 3, 4, 10, 18, 28, 80, 162, 280, 880, ... {{OEIS|A007661}}
과 같이 계산된다.
:1, 1, 2, 3, 4, 5, 12, 21, 32, 45, 120, 231, ... {{OEIS|A007662}}


=== 지수 계승 ===
예를 들면:
계승의 정의에서 곱셈 대신 덧셈을 사용하면, '''[[삼각수]]'''의 정의를 얻는다. 즉, 음이 아닌 정수 <math>n</math>의 삼각수 <math>T_n</math>은 다음과 같다.
<math>3.5! = \sqrt{\pi} \cdot {1\over 2}\cdot{3\over2}\cdot{5\over2}\cdot{7\over2} \approx 11.6317</math>
:<math>T_n=n(n+1)/2=\sum_{k=1}^nk=n+(n-1)+(n-2)+\cdots+2+1</math>
<math>4.5! = \sqrt{\pi} \cdot {1\over 2}\cdot{3\over2}\cdot{5\over2}\cdot{7\over2}\cdot{9\over2} \approx 52.3428</math>
계승의 정의에서 곱셈 대신 [[거듭제곱]]을 사용하면, '''지수 계승'''(指數階乘, {{llang|en|exponential factorial}})의 정의를 얻는다. 즉, 음이 아닌 정수 <math>n</math>의 지수 계승 <math>a_n</math>은 다음과 같다.
:<math>a_n=n^{(n-1)^{(n-2)^{\cdots^{2^1}}}}</math>
처음 몇 지수 계승은 다음과 같다.
: 1, 1, 2, 9, 262144, ... {{OEIS|A049384}}


== 성질 ==
== 성질 ==
=== 항등식 ===
팩토리얼(<math>factorial</math>)은 다음과 같은 성질을 갖는다.
계승·<math>k</math>중 계승·지수 계승의 [[점화식]]은 각각 다음과 같다.
:<math> n! = (n)\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot(n-n+2)\cdot (n-n+1) </math>
:<math> n! = (n)\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot(n-(n-2))\cdot(n-(n-1)) </math>
:<math>n!=n(n-1)!</math>
:<math>n\overbrace{!!\cdots!}^k=n(n-k)\overbrace{!!\cdots!}^k</math>
:<math>a_n=n^{a_{n-1}}</math>


=== 점근 공식 ===
:<math> n! = (n-0)\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot(n-(n-1)+1)\cdot(n-(n-0)+1)</math>
{{본문|스털링 근사}}
:<math> 1! = (1)=(1-1+1)=(1-(1-1))=(1-(1-0)+1)=1</math>
:*<math> n! = (n)\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot(n-n+2)\cdot (n-n+1)\;\;,\; (0< k\le n) </math>
::<math> {}_{n}P_{k} =(n)\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdot\cdot(n-k+2)\cdot (n-k+1) </math>
::<math>{}_{n}P_{k} = {}_{n}P_{k} \times { {(n-k)!} \over {(n-k)!} } </math>
::<math> {}_{n}P_{k} ={{ {}_{n}P_{k} \times (n-k)!} \over{(n-k)!} } </math>


== 응용 ==
::<math>\therefore\; {}_{n}P_{k} ={{n!} \over{(n-k)!} } </math>
=== 계승 소수 ===
{{본문|계승 소수}}


== 관련 개념 ==
:<math>k=n\;,\; </math>
=== 소수 계승 ===
::<math> {}_{n}P_{k} =(n)\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdot\cdot(n-k+2)\cdot (n-k+1) </math>
{{본문|소수 계승}}
::<math> {}_{n}P_{n} = (n)\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot(n-n+2)\cdot (n-n+1)=n! </math>
음이 아닌 정수 <math>n</math>의 소수 계승은 <math>n</math> 이하의 모든 [[소수 (수론)|소수]]의 곱이다.


=== 상승 계승과 하강 계승 ===
:<math> {}_{n}P_{n} ={{n!} \over{(n-n)!} } </math>
{{본문|포흐하머 기호}}
::<math> {}_{n}P_{n} ={{n!} \over{0!} } </math>
::<math> {0!} ={{n!} \over {{}_{n}P_{n}} } </math>
:<math>\therefore\; {0!} ={{n!} \over {n!} } \;\;(\because\;{}_{n}P_{n} ={{n!} } )</math>
:<math> {0!} ={1\over 1 } </math>
:<math> {0!} =1 </math>

== 값 ==
음이 아닌 정수의 계승은 다음과 같다. {{OEIS|A142}}
{|class=wikitable style="text-align: right"
|-
! 0!
| 1
|-
! 1!
| 1
|-
! 2!
| 2
|-
! 3!
| 6
|-
! 4!
| 24
|-
! 5!
| 120
|-
!6!
|720
|-
!7!
|5&#8239;040
|-
!8!
|40&#8239;320
|-
!9!
|362&#8239;880
|-
!10!
|3&#8239;628&#8239;800
|-
!11!
|39&#8239;916&#8239;800
|-
!12!
|479&#8239;001&#8239;600
|-
!13!
|6&#8239;227&#8239;020&#8239;800
|-
!14!
|87&#8239;178&#8239;291&#8239;200
|-
!15!
|1&#8239;307&#8239;674&#8239;368&#8239;000
|-
!16!
|20&#8239;922&#8239;789&#8239;888&#8239;000
|-
!17!
|355&#8239;687&#8239;428&#8239;096&#8239;000
|-
!18!
|6&#8239;402&#8239;373&#8239;705&#8239;728&#8239;000
|-
!19!
|121&#8239;645&#8239;100&#8239;408&#8239;832&#8239;000
|-
!20!
|2&#8239;432&#8239;902&#8239;008&#8239;176&#8239;640&#8239;000
|}


== 역사 ==
== 역사 ==
143번째 줄: 78번째 줄:


{{llang|fr|factorielle|팍토리엘}}이라는 이름은 프랑스의 루이 프랑수아 앙투안 아르보가({{llang|fr|Louis François Antoine Arbogast}})가 사용하였다. [[느낌표]] 표기법은 [[1808년]] [[수학자]] [[크리스티앙 크랑]]({{llang|fr|Christian Kramp}})이 저서 《보편 산술 원론》({{llang|fr|Éléments d’arithmétique universelle}})<ref>{{서적 인용|이름=Christian|성=Kramp|제목=Éléments d’arithmétique universelle|출판사=De l’imprimerie de Th. F. Thiriart, et se vend chez Hansen|위치=[[쾰른]]|날짜=1808|언어=fr}}</ref> 에서 처음으로 사용하였다. 크랑은 원래 계승을 {{llang|fr|faculté|파퀼테}})라고 불렀으나, 이후 아르보가를 따라 "팩토리얼"을 대신 사용하였다.
{{llang|fr|factorielle|팍토리엘}}이라는 이름은 프랑스의 루이 프랑수아 앙투안 아르보가({{llang|fr|Louis François Antoine Arbogast}})가 사용하였다. [[느낌표]] 표기법은 [[1808년]] [[수학자]] [[크리스티앙 크랑]]({{llang|fr|Christian Kramp}})이 저서 《보편 산술 원론》({{llang|fr|Éléments d’arithmétique universelle}})<ref>{{서적 인용|이름=Christian|성=Kramp|제목=Éléments d’arithmétique universelle|출판사=De l’imprimerie de Th. F. Thiriart, et se vend chez Hansen|위치=[[쾰른]]|날짜=1808|언어=fr}}</ref> 에서 처음으로 사용하였다. 크랑은 원래 계승을 {{llang|fr|faculté|파퀼테}})라고 불렀으나, 이후 아르보가를 따라 "팩토리얼"을 대신 사용하였다.

== 함께 보기 ==
*[[순열]]
*[[조합]]
*[[급수|급수(시리즈)]]
*[[큐-팩토리얼]]

== 각주 ==
<references />


== 참고 문헌 ==
== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 |first=M. J. |last=Hadamard|저자고리=자크 아다마르
* {{서적 인용 |first=M. J. |last=Hadamard|저자고리=자크 아다마르
|장=Sur l’expression du produit 1·2·3· · · · ·(n−1) par une fonction entière
|장=Sur l’expression du produit 1·2·3· · · · ·(n−1) par une fonction entière
160번째 줄: 87번째 줄:


==바깥 고리==
==바깥 고리==
* {{수학노트|title=팩토리얼(factorial)}}
* {{eom|title=Factorial}}
* {{eom|title=Factorial}}
* {{매스월드|id=Factorial|title=Factorial}}
* {{매스월드|id=Factorial|title=Factorial}}
* {{매스월드|id=DoubleFactorial|title=Double factorial}}
* [http://www.elektro-energetika.cz/calculations/faktorial.php?language=ko 계승값 계산 ] (N≤40000)
* {{매스월드|id=Multifactorial|title=Multifactorial}}
* [http://math.bab2min.pe.kr/factorial 온라인 계승값 계산기]
* {{매스월드|id=ExponentialFactorial|title=Exponential factorial}}
* {{플래닛매스|urlname=Factorial|title=Factorial}}
* {{proofwiki|id=Definition:Factorial|title=Definition:Factorial}}
* {{proofwiki|id=Category:Factorials|title=Category:Factorials}}


[[분류:조합론]]
[[분류:조합론]]

2017년 7월 12일 (수) 15:08 판

수학에서, 자연수의 계승(階乘, 문화어: 차례곱, 영어: factorial 팩토리얼[*])은 1부터 그 수까지의 모든 자연수의 곱이다.

정의

음이 아닌 정수 의 계승 은 다음과 같다.

특히, 0의 계승은 1이다.

처음 몇 계승은 다음과 같다.

1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 39916800, 479001600, 6227020800, 87178291200, 1307674368000, 20922789888000, 355687428096000, 6402373705728000, 121645100408832000, 2432902008176640000, ... (OEIS의 수열 A000142)

복소수의 계승

<nowiki /> 이 부분의 본문은 감마 함수입니다.

감마 함수를 통해 계승의 정의역을 음의 정수가 아닌 복소수까지 확장할 수 있다. 감마 함수 의 정의역은 이며, 양의 실수부에서의 값은 다음과 같다.

감마 함수와 계승의 관계는 다음과 같다.

이에 따라, 음의 정수가 아닌 복소수 의 계승을 다음과 같이 정의할 수 있다.

특히, 반정수의 계승은 다음과 같다.

기수의 계승

계승이 대칭군의 크기와 같다는 사실을 통해 계승을 임의의 기수까지 확장할 수 있다. 즉, 기수 의 계승 는 다음과 같다.

다중 계승

계승의 정의에서 연속된 자연수들을 곱하는 대신 법에 대하여 합동인 자연수들만 곱하면, 다중 계승(多重階乘, 영어: multifactorial)의 정의를 얻는다. 즉, 양의 정수 과 정수 가 주어졌을 때, 의 중 계승은 다음과 같다. (이는 번의 계승과 다른 개념이다.)

특히, 일 경우 다음과 같다.

예를 들어, 일중 계승은 계승이다. 또한, 이중 계승(二重階乘, 영어: double factorial)은 다음과 같다. 임의의 에 대하여,

특히, 이다.

처음 몇 이중·삼중·사중 팩토리얼은 각각 다음과 같다.

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10395, ... (OEIS의 수열 A006882)
1, 1, 2, 3, 4, 10, 18, 28, 80, 162, 280, 880, ... (OEIS의 수열 A007661)
1, 1, 2, 3, 4, 5, 12, 21, 32, 45, 120, 231, ... (OEIS의 수열 A007662)

지수 계승

계승의 정의에서 곱셈 대신 덧셈을 사용하면, 삼각수의 정의를 얻는다. 즉, 음이 아닌 정수 의 삼각수 은 다음과 같다.

계승의 정의에서 곱셈 대신 거듭제곱을 사용하면, 지수 계승(指數階乘, 영어: exponential factorial)의 정의를 얻는다. 즉, 음이 아닌 정수 의 지수 계승 은 다음과 같다.

처음 몇 지수 계승은 다음과 같다.

1, 1, 2, 9, 262144, ... (OEIS의 수열 A049384)

성질

항등식

계승·중 계승·지수 계승의 점화식은 각각 다음과 같다.

점근 공식

<nowiki /> 이 부분의 본문은 스털링 근사입니다.

응용

계승 소수

<nowiki /> 이 부분의 본문은 계승 소수입니다.

관련 개념

소수 계승

<nowiki /> 이 부분의 본문은 소수 계승입니다.

음이 아닌 정수 의 소수 계승은 이하의 모든 소수의 곱이다.

상승 계승과 하강 계승

<nowiki /> 이 부분의 본문은 포흐하머 기호입니다.

역사

계승의 기본적인 개념은 n개의 원소의 순열의 개수로서 이미 12세기 인도 수학에 알려져 있었다.[1]

프랑스어: factorielle 팍토리엘[*]이라는 이름은 프랑스의 루이 프랑수아 앙투안 아르보가(프랑스어: Louis François Antoine Arbogast)가 사용하였다. 느낌표 표기법은 1808년 수학자 크리스티앙 크랑(프랑스어: Christian Kramp)이 저서 《보편 산술 원론》(프랑스어: Éléments d’arithmétique universelle)[2] 에서 처음으로 사용하였다. 크랑은 원래 계승을 프랑스어: faculté 파퀼테[*])라고 불렀으나, 이후 아르보가를 따라 "팩토리얼"을 대신 사용하였다.

참고 문헌

  1. ↑ Biggs, N. L. (1979). “The roots of combinatorics”. 《Historia Math.》 (영어) 6: 109−136. 
  2. ↑ Kramp, Christian (1808). 《Éléments d’arithmétique universelle》 (프랑스어). 쾰른: De l’imprimerie de Th. F. Thiriart, et se vend chez Hansen. 

바깥 고리

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