내적 공간: 두 판 사이의 차이
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'''내적공간'''(內積空間, inner product space)은 |
[[선형대수학]]에서, '''내적공간'''(內積空間, {{llang|en|inner product space}})은 두 벡터를 곱해 [[스칼라]]를 얻는 '''내적'''이라는 [[이항연산]]이 주어진 [[벡터공간]]이다. 벡터공간에 내적이 주어지면 이를 이용해 [[길이]]나 [[각도]] 등의 개념을 정의할 수 있으며, 이는 [[유클리드 공간]]의 [[스칼라 곱]]을 일반화한 것으로 볼 수 있다. (주의: 책에 따라 내적과 스칼라 곱을 동의어로 여기기도 한다.). 내적공간의 개념은 [[함수해석학]]에서 중요하게 다루어진다. |
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==정의== |
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(이 글에서 [[스칼라 (수학)|스칼라]]들의 [[체 (수학)|체]] '''F'''는 [[실수체]] '''R''' 혹은 [[복소수체]] '''C'''이다.) |
(이 글에서 [[스칼라 (수학)|스칼라]]들의 [[체 (수학)|체]] '''F'''는 [[실수체]] '''R''' 혹은 [[복소수체]] '''C'''이다.) |
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'''내적'''이란 함수 |
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내적이란 함수 |
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:<math> \langle \cdot, \cdot \rangle : V \times V \rightarrow \mathbb{F} </math> |
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로서, 임의의 V의 원소 x,y,z와 F의 원소 a,b에 대해 다음의 조건들을 만족하는 것이다 |
로서, 임의의 V의 원소 x,y,z와 F의 원소 a,b에 대해 다음의 조건들을 만족하는 것이다. |
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*[[켤레 복소수|켤레]] 대칭성: |
*[[켤레 복소수|켤레]] 대칭성: |
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::<math>\langle x,y\rangle =\overline{\langle y,x\rangle}.</math> |
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:이 조건에 따라 <math> \langle x,x\rangle \in \mathbb{R} </math>가 성립하는데, 이는 <math>\langle x,x\rangle = \overline{\langle x,x\rangle} </math>이기 때문이다. |
:이 조건에 따라 <math> \langle x,x\rangle \in \mathbb{R} </math>가 성립하는데, 이는 <math>\langle x,x\rangle = \overline{\langle x,x\rangle} </math>이기 때문이다. |
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*첫 번째 변수에 대한 [[선형성]]: |
*첫 번째 변수에 대한 [[선형성]]: |
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::<math>\langle ax,y\rangle= a \langle x,y\rangle.</math> |
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::<math>\langle x+y,z\rangle= \langle x,z\rangle+ \langle y,z\rangle.</math> |
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::<math>\langle x,by \rangle= \overline{b} \langle x,y\rangle.</math> |
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::<math>\langle x,y+z\rangle= \langle x,y\rangle+ \langle x,z\rangle.</math> |
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:따라서 <math> \langle \cdot , \cdot \rangle </math>는 정반선형 형식이 된다. |
:따라서 <math> \langle \cdot , \cdot \rangle </math>는 정반선형 형식이 된다. |
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*음이 아님: |
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::<math>\langle x,x\rangle \ge 0.</math> |
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:(이는 V의 임의의 원소 x에 대해 <math> \langle x,x\rangle \in \mathbb{R} </math>이기에 의미를 갖는다.) |
:(이는 V의 임의의 원소 x에 대해 <math> \langle x,x\rangle \in \mathbb{R} </math>이기에 의미를 갖는다.) |
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*비퇴화성: |
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::<math>\langle x,x \rangle = 0</math>이면 <math>x=0.</math> |
::<math>\langle x,x \rangle = 0</math>이면 <math>x=0.</math> |
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==같이 보기== |
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*[[벡터곱]] |
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*[[외대수]] |
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*[[겹선형형식]] |
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*[[쌍대공간]] |
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[[분류:노름 공간]] |
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2014년 6월 8일 (일) 04:56 판
선형대수학에서, 내적공간(內積空間, 영어: inner product space)은 두 벡터를 곱해 스칼라를 얻는 내적이라는 이항연산이 주어진 벡터공간이다. 벡터공간에 내적이 주어지면 이를 이용해 길이나 각도 등의 개념을 정의할 수 있으며, 이는 유클리드 공간의 스칼라 곱을 일반화한 것으로 볼 수 있다. (주의: 책에 따라 내적과 스칼라 곱을 동의어로 여기기도 한다.). 내적공간의 개념은 함수해석학에서 중요하게 다루어진다.
정의
(이 글에서 스칼라들의 체 F는 실수체 R 혹은 복소수체 C이다.) 체 F 상의 벡터공간 V에 정부호 비퇴화 정반선형 형식 <·,·>이 주어지면 이 공간을 내적공간이라 하고, <·,·>를 내적이라 한다. 이는 실벡터공간에 대해서는 정부호 비퇴화 대칭 겹선형형식이 된다. 위의 내적의 정의를 보다 기초적인 용어들로 아래와 같이 풀어 쓸 수 있다.
내적이란 함수
로서, 임의의 V의 원소 x,y,z와 F의 원소 a,b에 대해 다음의 조건들을 만족하는 것이다.
- 켤레 대칭성:
- 이 조건에 따라 가 성립하는데, 이는 이기 때문이다.
- 첫 번째 변수에 대한 선형성:
- 이 조건을 위의 켤레 대칭성 조건과 함께 이용해서 다음을 얻을 수 있다.
- 따라서 는 정반선형 형식이 된다.
- 음이 아님:
- (이는 V의 임의의 원소 x에 대해 이기에 의미를 갖는다.)
- 비퇴화성:
- 이면
같이 보기
바깥 고리
- “Inner product”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Inner product space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.