모듈러 곡선: 두 판 사이의 차이
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Γ(''N'')의 경우 <math>N>1</math>이면 타원점이 없다.<ref name="DS"/>{{rp|57}} 이들은 |
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:<math>|\Gamma(1):\Gamma(N)|=\begin{cases} |
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\frac12N^3\prod_{p|N}(1-1/p^2)&N>2\\ |
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6&n=2 |
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<math>|\Gamma(1):\Gamma(N)|/N</math>개의 첨점을 가진다. |
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따라서 이 경우 종수는 |
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:<math>g=1+|\Gamma(1):\Gamma(N)|(1/12-1/2N)</math> |
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이다. 예를 들어, <math>N=2</math>인 경우 세 개의 첨점을 가지며, 이에 대응하는 모듈러 곡선의 종수는 |
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:<math>g=1+6(1/12-1/4)=0</math> |
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이다. |
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=== Γ<sub>1</sub>(''N'') === |
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Γ<sub>1</sub>(2)와 Γ<sub>1</sub>(2)는 각각 하나의 타원점을 가진다. Γ<sub>1</sub>(''N'')의 경우 ''N''>3이면 타원점이 없다.<ref name="DS"/>{{rp|57}} 이 경우 종수 <math>g_N=g(X_1(N))</math>는 다음과 같다 {{OEIS|A029937}}. |
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:<math>g=0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 2, 1, 1, 2, 5, \dots</math> |
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=== Γ<sub>0</sub>(''N'') === |
=== Γ<sub>0</sub>(''N'') === |
2013년 12월 19일 (목) 11:42 판
수론과 대수기하학에서, 모듈러 곡선(modular曲線, 영어: modular curve)은 상반평면의 모듈러 군의 부분군에 대한 몫공간인 리만 곡면이다.[1] 타원곡선과 모듈러 군의 이론과 밀접한 관계를 갖는다.
정의
모듈러 군 의 부분군 가 주어졌다고 하자. 만약 충분히 큰 에 대하여 라면, 를 모듈러 군의 합동 부분군(合同部分群, 영어: congruence subgroup)이라고 하고, 이러한 가장 작은 정수 을 합동 부분군 의 준위(영어: level 레벨[*])라고 한다.
Γ(1)은 저연스럽게 상반평면 에 작용한다. 이를 제약하여, 합동 부분군 또한 상반평면에 작용하게 된다. 이렇게 정의한 몫공간 를 (비콤팩트) 모듈러 곡선 라고 한다. 이는 일반적으로 콤팩트하지 않은 리만 곡면이다.
콤팩트한 모듈러 곡선을 얻기 위해서는 확장 상반평면(영어: extended upper-half plane)
을 정의하자. 그렇다면 콤팩트 모듈러 곡선을 확장 상반평면의 몫공간으로 정의할 수 있다.[1]:58
대표적인 합동 부분군 &Gamma0(N), &Gamma1(N) 및 Γ(N)에 대응하는 콤팩트 모듈러 곡선을 각각 X0(N), X1(N), X(N)이라고 적는다.
타원점과 첨점
합동 부분군 의 타원점 는 그 점에서의 -작용에 대한 안정자군 가 자명하지 않는 (보다 더 큰) 점이다.[1]:48 이 경우, 의 크기를 타원점 의 계수(영어: order)라고 한다. 타원점의 계수는 항상 2 또는 3임을 보일 수 있다. 타원점은 의 모듈러 곡선 위의 한 점으로 간주할 수 있다.
합동 부분군 의 첨점(영어: cusp)은 : 의 원소이다. 즉, 모듈러 곡선을 콤팩트화할 때 추가한 점들이다.
성질
모듈러 곡선의 기하는 잘 알려져 있다. 일반적으로, 합동 부분군 의 콤팩트 모듈러 곡선 의 종수(genus)는 다음과 같다.[1]:68
여기서
- 는 부분군의 지표다.
- 는 의 계수가 2인 타원점들의 수이다.
- 는 계수가 3인 타원점들의 수이다.
- 는 의 첨점들의 수이다.
예
Γ(1)
모듈러 군 의 경우, 이에 대응하는 모듈러 곡선 은 리만 구 와 동형이다. 이 동형사상은 j-불변량에 의하여 주어진다.
이는 종수 공식으로 다음과 같이 계산할 수 있다. Γ(1)의 타원점과 첨점은 다음과 같다.
- 계수가 2인 타원점 1개 ()
- 계수가 3인 타원점 1개 ()
- 첨점 1개 ()
를 가진다. 따라서
이다. 이는 리만 구에 해당한다.
Γ(N)
Γ(N)의 경우 이면 타원점이 없다.[1]:57 이들은
이며, 개의 첨점을 가진다. 따라서 이 경우 종수는
이다. 예를 들어, 인 경우 세 개의 첨점을 가지며, 이에 대응하는 모듈러 곡선의 종수는
이다.
Γ1(N)
Γ1(2)와 Γ1(2)는 각각 하나의 타원점을 가진다. Γ1(N)의 경우 N>3이면 타원점이 없다.[1]:57 이 경우 종수 는 다음과 같다 (OEIS의 수열 A029937).
Γ0(N)
Γ0(N)의 경우, 타원점과 첨점들의 수는 다음과 같다.
여기서 는 오일러 함수이고, 는 르장드르 기호이다. 는 가 의 인수라는 뜻이다. 는 가 의 소인수라는 뜻이다.
참고 문헌
- ↑ 가 나 다 라 마 바 Diamond, Fred; Jerry Shurman (2005). 《A first course in modular forms》. Graduate Texts in Mathematics 228. Springer. doi:10.1007/b138781. ISBN 978-0-387-23229-4. ISSN 0072-5285. Zbl 1062.11022.
바깥 고리
- Panchishkin, A.A. (2001). “Modular curve”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.