피카르-렙셰츠 이론: 두 판 사이의 차이
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2013년 10월 26일 (토) 22:51 판
미분위상수학과 대수기하학에서, 피카르-렙셰츠 이론(영어: Picard–Lefshetz theory)은 복소다양체 위의 정칙함수의 특이점 주위의 모노드로미를 연구하는 이론이다. 모스 이론의 복소수 버전이라고 생각할 수 있다.
피카르-렙셰츠 공식
복소 차원 연결 복소다양체 위에 정칙함수 가 있다고 하자. 이러한 함수의 특이점은 인 점 들이다. 특이점들이 이산 공간을 이루고, 또한 그 상 들이 서로 다르다고 하자.
일반적으로, 모든 에 대하여 는 위상동형이다. 인 극한을 취하면, 의 호몰로지류 가운데 하나가 0으로 축소돼 사라지게 된다 (vanishing cycle). 이러한 호몰로지류는 항상 중간 호몰로지, 즉 차 호몰로지류 임을 보일 수 있다. (는 실수 차원이다.) 를 주위로 작은 원을 그리며 변형시키면, 이에 대한 모노드로미는 에 대한 작용으로 표현할 수 있다. 즉, 이 모노드로미는 기본군 의 에 대한 작용으로 나타내어진다.
피카르-렙셰츠 공식에 따라서, 이 작용은 다음과 같다. 가 를 반시계방향으로 도는 폐곡선이라고 하면,
이다. 여기서
이다.
역사
참고 문헌
- Vassiliev, V. A. (2002). 《Applied Picard-Lefschetz Theory》. AMS Mathematical Surveys and Monographs 97. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2948-6. Zbl 1039.32039.
- Nicolaescu, Liviu (2011). 《An Invitation to Morse Theory》. Universitext 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4614-1105-5. ISBN 978-1-4614-1104-8. ISSN 0172-5939. MR 2883440.
- Lamotke, Klaus (1981). “The topology of complex projective varieties after S. Lefschetz”. 《Topology》 20 (1): 15–51. doi:10.1016/0040-9383(81)90013-6. ISSN 0040-9383. MR 592569.
바깥 고리
- Fisher, Jonathan (2010년 4월 22일). “Complex Morse theory” (PDF).
- Evans, Jonny (2012년 4월 17일). “Symplectic Picard–Lefshetz theory” (PDF).
- Berczi, Gergely (2010). “Lectures on singularities of maps” (PDF).