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2007년 9월 4일 (화) 15:18 판

수학에서 내적공간(inner product space)은 두 벡터를 곱해 스칼라를 얻는 내적이라는 이항연산이 주어진 벡터공간을 말한다. 벡터공간에 내적이 주어지면 이를 이용해 길이나 각도 등의 개념을 정의할 수 있으며, 이는 유클리드 공간의 스칼라 곱을 일반화한 것으로 볼 수 있다. (주의: 책에 따라 내적과 스칼라 곱을 동의어로 여기기도 한다.) 내적공간의 개념은 함수해석학에서 중요하게 다루어진다.

정의

(이 글에서 스칼라들의 체 F는 실수체 R 혹은 복소수체 C이다.)

체 F 상의 벡터공간 V에 정부호 비퇴화 정반선형 형식 <·,·>이 주어지면 이 공간을 내적공간이라 하고, <·,·>를 내적이라 한다. 이는 실벡터공간에 대해서는 정부호 비퇴화 대칭 겹선형형식이 된다. 위의 내적의 정의를 보다 기초적인 용어들로 아래와 같이 풀어쓸 수 있다.

내적이란 함수

\langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\rightarrow \mathbb {F}

로서, 임의의 V의 원소 x,y,z와 F의 원소 a,b에 대해 다음의 조건들을 만족하는 것이다:

함께 보기

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 [[Image:Inner-product-angle.png|thumb|300px|내적의 기하학적 해석]]
 [[수학]]에서 '''내적공간'''(inner product space)은 두 벡터를 곱해 [[스칼라]]를 얻는 '''내적'''이라는 [[이항연산]]이 주어진 [[벡터공간]]을 말한다. 벡터공간에 내적이 주어지면 이를 이용해 [[길이]]나 [[각도]] 등의 개념을 정의할 수 있으며, 이는 [[유클리드 공간]]의 [[스칼라 곱]]을 일반화한 것으로 볼 수 있다. (주의: 책에 따라 내적과 스칼라 곱을 동의어로 여기기도 한다.) 내적공간의 개념은 [[함수해석학]]에서 중요하게 다루어진다.
+==정의==
+(이 글에서 [[스칼라 (수학)|스칼라]]들의 [[체 (수학)|체]] '''F'''는 [[실수체]] '''R''' 혹은 [[복소수체]] '''C'''이다.)
+체 F 상의 벡터공간 V에 [[정부호]] [[비퇴화]] [[정반선형 형식]] <·,·>이 주어지면 이 공간을 '''내적공간'''이라 하고, <·,·>를 '''내적'''이라 한다. 이는 실벡터공간에 대해서는 정부호 비퇴화 [[대칭 겹선형형식]]이 된다. 위의 내적의 정의를 보다 기초적인 용어들로 아래와 같이 풀어쓸 수 있다.
+내적이란 함수
+:<math> \langle \cdot, \cdot \rangle : V \times V \rightarrow \mathbb{F} </math>
+로서, 임의의 V의 원소 x,y,z와 F의 원소 a,b에 대해 다음의 조건들을 만족하는 것이다:
 ==함께 보기==