크로네커 델타(영어: Kronecker delta)는 선형대수학에서 정수 값을 가지는 두 개의 변수에 대해서 정의된 함수 혹은 텐서이다. 이 텐서의 이름은 수학자 레오폴트 크로네커의 이름에서 따왔다.
크로네커 델타 δij는 다음과 같이 정의된다.
![{\displaystyle \delta _{ij}\in \{0,1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e5a6655996ea73b6704b2d116845e0a4ffa8b50)
![{\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}1&i=j\\0&i\neq j\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc022fe7ec329cb7b4a0a7f81d311e3d86854f0d)
다시말하면, 이 함수는 두 개의 변수가 같은 값을 가지면 1이 되고, 그렇지 않으면 0이 된다. 예를 들어, δ12 = 0, δ33 = 1이다.
특별한 경우에 변수가 하나인 경우에는 흔히 다음과 같이 크로네커 델타 δi를 정의한다.
![{\displaystyle \delta _{i}=\delta _{i0}={\begin{cases}1&i=0\\0&i\neq 0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d16aaf0d20f2fe2380eaee41733124586d1b039)
일반화 크로네커 델타[편집]
좀 더 많은 성분을 가진 텐서에 대해서도 비슷한 성질을 갖는 아래의 텐서를 생각할 수 있다.
![{\displaystyle \delta _{i_{1}i_{2}\dotso i_{n}}^{j_{1}j_{2}\dotso j_{n}}\in \{+1,-1,0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1fe10752fc6c3d79634f0777cc4ca4be2d56b55)
이 텐서는 다음과 같이 정의된다.
- 만약
이
의 순열이 아니라면, 일반화 크로네커 델타의 값은 0이다.
- 만약
이라면,
이다.
물론, 만약
일 경우 이는 원래 크로네커 델타의 정의와 일치한다.
크로네커 델타의 가장 중요한 성질은 다음과 같이 임의로 합을 하면, 특정한 지표 i ∈ ℤ (정수)를 골라낼 수 있다는 성질이다.
![{\displaystyle \sum _{j=-\infty }^{\infty }\delta _{ij}a_{j}=a_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9085bcf0d8046b197a47907e6cfc34e892b9cd08)
이 성질은 디랙 델타 함수와 매우 비슷한 성질이기 때문에 흔히 크로네커 델타를 이산적인 경우의 델타 함수라고 하기도 한다.
또한, 데카르트 좌표계에서의 성분끼리의 미분도 크로네커 델타로 표현된다.
![{\displaystyle {\partial x_{i} \over \partial x_{j}}=\delta _{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f4210073be877bc85ab0fb54c9a4204d014bd64)
선형대수학적 성질[편집]
크로네커 델타를 텐서로 생각할 땐 텐서의 축약으로 특정 지표를 골라내는 성질을 간단하게 나타낼 수 있으므로 공변지표(covariant index) i와 반변지표(contravariant index) j를 사용해
로 나타낸다.
이 (1,1) 텐서를 이용해 나타낼 수 있는 것들에는 다음과 같은 것들이 있다. (여기 아래에선 아인슈타인 표기법을 사용)
![{\displaystyle v^{i}=\delta _{j}^{i}v^{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ded0767441ac71e2ecad54857d323a3ae8ab7e90)
![{\displaystyle \mathrm {tr} (A)=\delta _{j}^{i}A_{i}^{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77df915e6609fc5376f68a1b8fc4012a23d04c13)
![{\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=\delta _{j}^{i}a_{i}b^{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a543f043bce5f869f2b037a242e472aaf4659277)
선적분을 통한 표현[편집]
다음의 잉여 계산을 통해
![{\displaystyle \oint {1 \over z^{n}}dz=\left\{{\begin{matrix}2\pi i&n=1\\0&{\textrm {otherwise}}\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07dc46440ff28422eae0fa0d94d8cd96f691ac72)
크로네커 델타의 적분표현을 얻을 수 있다.
![{\displaystyle \delta _{mn}={\frac {1}{2\pi i}}\oint z^{m-n-1}dz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a97957d4082938f1f9b9d2838cd03c26f517a001)
여기서 적분경로는 0 주변을 반시계방향으로 도는 임의의 고리이다. 또한 이 적분은 복소평면 상에서 한바퀴 돌며 적분하는 것과 같으므로 아래와 같이 나타낼 수도 있다.
![{\displaystyle \delta _{mn}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{i(m-n)\varphi }d\varphi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d1fe4266efd668731ffd44e4f1ff9edfb1e58e0)
디지털 신호 처리 분야에서는, 위와 같은 개념을 ℤ에서 정의된 함수로 나타낸다.
![{\displaystyle \delta (n)={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92185259e2378043ac2cb2caaecda09a30d75f0c)
이 함수를 '임펄스', 혹은 '단위 임펄스'라고 부른다. 어떤 신호 처리 장치에 임펄스가 입력으로 주어졌을때, 출력으로 나오는 것을 임펄스 응답이라고 한다.
같이 보기[편집]