대수적 위상수학에서 천 지표([陳]指標, 영어: Chern character)는 복소수 벡터 다발에 대응되는 유리수 계수 특성류이다. 위상 K이론에서 (유리수 계수) 특이 코호몰로지로 가는 환 준동형을 이룬다.
위상 공간
가 주어졌다고 하자. 그 위의 유리수 계수 호몰로지 군
![{\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(X;\mathbb {Q} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39dadbf898955fc9e69463cc0e91e420541406ea)
은 유리수 벡터 공간이다. 이 경우,
![{\displaystyle \overbrace {\operatorname {H} ^{\bullet }(X;\mathbb {Q} )} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2a6235c3c9cbc4076e60e6b4e88df68aa9fc87e)
가 그 속의 (형식적) 가산 무한 합들의 유리수 벡터 공간이라고 하자. 즉,
의 임의의 기저
를 잡으면
![{\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(X;\mathbb {Q} )\cong \bigoplus _{i\in I}\mathbb {Q} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ee2b3e6aa5aa5cdb229a40425614c5687509fcf)
인데,
![{\displaystyle \overbrace {\operatorname {H} ^{\bullet }(X;\mathbb {Q} )} =\prod _{i\in I}\mathbb {Q} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2cb735c1d8b202e78de9ecb23ab77bfaf418b88)
로 정의하자. (만약
가 유한 차원이라면, 즉 만약
가 유한 집합이라면,
이다.)
위의 복소수 선다발
의 천 지표는 1차 천 특성류의 (형식적) 지수 함수다. 즉, 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {ch} (L)=\exp(c_{1}(L))=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{i!}}\operatorname {c} _{1}(L)^{i}\in \overbrace {\operatorname {H} ^{\bullet }(X;\mathbb {Q} )} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c3ee4db1cc9f85463fd5de719049cf2645add31)
일반적인 복소수 벡터 다발은 분할 원리에 따라 선다발의 합
인 것처럼 여길 수 있으며, 천 특성류는 이에 따라 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {ch} (E)=\sum _{i=1}^{n}\exp(c_{1}(L_{i}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dd0d60b45ee27501d11c9a756bfa1bf06c415e2)
분할 원리를 통해 얻는 표현을 그냥 직접적으로 천 지표의 정의로 놓을 수도 있다. 이에 따라, 천 지표는 구체적으로 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {ch} (E)=\dim _{\mathbb {C} }E+\operatorname {c} _{1}(E)+{\frac {1}{2}}\left(\operatorname {c} _{1}(E)-2\operatorname {c} _{2}(E)\right)+{\frac {1}{6}}\left(\operatorname {c} _{1}(E)^{3}-3\operatorname {c} _{1}(E)\operatorname {c} _{2}(E)+3\operatorname {c} _{3}(E)\right)+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9178b449339b05823001de4a13fe2bbecd314ead)
여기서
는 유리수 계수
차 천 특성류이다. (정수 계수로 정의되는 천 특성류와 달리 천 지표는 유리수 계수만으로 정의된다.)
만약
가 매끄러운 다양체이며, 그 위의
차원 복소수 매끄러운 벡터 다발
가 코쥘 접속
를 가졌을 경우, 천-베유 준동형을 통해 복소수 계수 천 지표는 다음과 같은 표현으로 주어진다.
![{\displaystyle \operatorname {ch} (E)=\left[\operatorname {tr} \exp {\frac {\mathrm {i} F_{\nabla }}{2\pi }}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4d818b8e395348feefe9700c7d0642769e60024)
여기서
는
의 리만 곡률이며,
값 2차 미분 형식이다.
는
속의 형식적 지수 함수이다. 즉,
성분은 합성하고, 2차 미분 형식 성분은 쐐기곱을 취한다. (만약
가 추가로 콤팩트 공간이라면
차 초과의 베티 수가 0이므로 이 급수는 유한하다.)
는
에서
성분의 대각합을 취하는 연산이다.
는 드람 코호몰로지에서 미분 형식에 대응하는 코호몰로지류를 취하는 연산이다.
천 지표는 (복소수) 위상 K이론에서 유리수 계수 특이 코호몰로지로 가는 환 준동형을 이룬다.
![{\displaystyle \operatorname {ch} \colon \operatorname {K} (X)\to \operatorname {H} (X;\mathbb {Q} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6cbad103804cea217ffaa507a790dc333b259f0)
즉, 같은 위상 공간 위의 두 복소수 벡터 다발에 대하여 다음이 성립한다.
![{\displaystyle \operatorname {ch} (E\oplus F)=\operatorname {ch} (E)+\operatorname {ch} (F)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11f80cdf147132064ec2a4a10c6eb327dde41aa0)
![{\displaystyle \operatorname {ch} (E\otimes F)=\operatorname {ch} (E)\smile \operatorname {ch} (F)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/671454d4d54ce886c2e0fc8ec456428b095bc516)
또한, 임의의 벡터 다발 짧은 완전열
![{\displaystyle 0\to E\to F\to F/E\to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5ef3cfc36dab2a7cb2fa18110c1ccf460e81639)
에 대하여 다음이 성립한다.
![{\displaystyle \operatorname {ch} (E)+\operatorname {ch} (F/E)=\operatorname {ch} (F)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bdabe7deda34232d3e7dadc2428b5c5ae9bed68)