복소기하학에서, 지수열(指數列, 영어: exponential sequence)은 복소수의 지수 함수로부터 유도되는 층들의 긴 완전열이다.
복소다양체
위에서,
이 정칙 함수의 층,
이 가역 정칙 함수의 층이라고 하자. 이는 둘 다 아벨 군의 층이다. 그렇다면, 지수 함수
![{\displaystyle \exp(2\pi i\cdot (-))\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} ^{\times }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddf845940f3b869a59f928281c346d7778b7e317)
로부터, 층의 사상
![{\displaystyle \exp \colon {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}^{\times }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/752eac5dced48e24602fd156ed7e3ae11c7959ca)
을 정의할 수 있다. 이로 인하여, 다음과 같은 층의 짧은 완전열이 존재한다.
![{\displaystyle 0\to {\underline {\mathbb {Z} }}\to {\mathcal {O}}_{M}{\xrightarrow {\exp(2\pi i\cdot )}}{\mathcal {O}}_{M}^{\times }\to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51dce471e067bd6d70c28d1c2d4fe6ae166e5633)
여기서
는
의 값을 갖는 상수층이다.
임의의 열린집합
에 대하여, 단면 함자
를 취하면, 다음과 같은 긴 완전열을 얻는다.
![{\displaystyle 0\to H^{0}(U;{\underline {\mathbb {Z} }})\to H^{0}(U;{\mathcal {O}}_{M})\to H^{0}(U;{\mathcal {O}}_{M}^{\times })\to H^{1}(U;{\underline {\mathbb {Z} }})\to H^{1}(U;{\mathcal {O}}_{M})\to H^{1}(U;{\mathcal {O}}_{M}^{\times })\to H^{2}(U;{\underline {\mathbb {Z} }})\to H^{2}(U;{\mathcal {O}}_{M})\to H^{2}(U;{\mathcal {O}}_{M}^{\times })\to \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01b1bf49d25256f889a0350aa53bd72a853b6ebd)
이를 지수열이라고 한다.[1]:446–447, §B.5
지수열
![{\displaystyle 0\to H^{0}(U;{\underline {\mathbb {Z} }})\to H^{0}(U;{\mathcal {O}}_{M}){\xrightarrow {\exp(2\pi i\cdot )}}H^{0}(U;{\mathcal {O}}_{M}^{\times })\to H^{1}(U;{\underline {\mathbb {Z} }})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d96120054433002d2999a0b7ebc7e19b06d3e521)
에서, 지수 함수
의 역함수
가 (적어도 하나 이상) 존재하려면,
가 전사 함수여야 한다. 따라서,
가 단일 연결 공간이라면 (
), 어디서도 0이 아닌 모든 함수는 (적어도 하나의) 로그를 취할 수 있다.
예를 들어,
인 경우,
는 어디서도 0이 아니지만, 로그를 취할 수 없다.
지수열
![{\displaystyle \cdots \to H^{1}(U;{\underline {\mathbb {Z} }})\to H^{1}(U;{\mathcal {O}}_{M})\to H^{1}(U;{\mathcal {O}}_{M}^{\times })\to H^{2}(U;{\underline {\mathbb {Z} }})\to H^{2}(U;{\mathcal {O}}_{M})\to \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e492cddfeb5a9b59c56f701f6858969d70f5cda8)
에서,
는
의 피카르 군(해석적 선다발의 텐서곱군)이다.[1]:446–447 따라서, 사상
는 해석적 선다발을 그 천 특성류로 대응시킨다.
만약
가 슈타인 다양체인 경우, 카르탕 B정리에 의하여
![{\displaystyle H^{1}(U;{\mathcal {O}}_{M})\cong H^{2}(U;{\mathcal {O}}_{M})\cong 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbbeb7f422a833cd9faf985a474718387ba5bbc7)
이다. 따라서
![{\displaystyle H^{1}(U;{\mathcal {O}}_{M}^{\times })\cong H^{2}(U;\mathbb {Z} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5b6571770699cd900b65b8cf850b1e6173d2f18)
이다. 즉, 해석적 선다발들은 2차 코호몰로지류와 (천 특성류에 의하여) 일대일 대응한다.
가 종수
의 연결 콤팩트 리만 곡면이라고 하자. 그렇다면 특이 코호몰로지 군들은 다음과 같다.
![{\displaystyle H^{1}(\Sigma _{g};{\underline {\mathbb {Z} }})\cong \mathbb {Z} ^{2g}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db642fbfbe812285f8e6e3e2ee61f1d626fb1068)
![{\displaystyle H^{0}(\Sigma _{g};{\underline {\mathbb {Z} }})\cong H^{2}(\Sigma _{g};{\underline {\mathbb {Z} }})\cong \mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fad3f1ec289ebe669dccaa2ec4f9621b6b931c6)
![{\displaystyle H^{i}(\Sigma _{g};{\underline {\mathbb {Z} }})=0\qquad \forall i>2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be1cce98d11ac6ba5643235bfa8083b5ac3f5d1e)
또한, 연결 콤팩트 리만 곡면 위의 정칙 함수는 상수 함수밖에 없으므로, 다음이 성립한다.
![{\displaystyle H^{0}(\Sigma _{g};{\mathcal {O}}_{\Sigma _{g}})\cong \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf267bfb95b9960c794351680480f9f854ab0138)
![{\displaystyle H^{0}(\Sigma _{g};{\mathcal {O}}_{\Sigma _{g}})\cong \mathbb {C} ^{\times }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35ad459a3f520bfb4fa62face314346eab5fe317)
또한, 돌보 코호몰로지에 의하여 다음이 성립한다.
![{\displaystyle H^{1}(\Sigma _{g};{\mathcal {O}}_{\Sigma _{g}})\cong \mathbb {C} ^{h^{0,1}}=\mathbb {C} ^{g}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c391a51804d689b0a28518b5d2277a0107a9ba8)
![{\displaystyle H^{p}(\Sigma _{g};{\mathcal {O}}_{\Sigma _{g}})\cong \mathbb {C} ^{h^{0,p}}=0\qquad \forall p>1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c494139e92cddc5a3bc483b62eae10370218bda)
따라서, 지수열은 다음과 같다.
![{\displaystyle 0\to \mathbb {Z} \to \mathbb {C} \to \mathbb {C} ^{\times }\to \mathbb {Z} ^{2g}\to \mathbb {C} ^{g}\to \operatorname {Pic} (\Sigma _{g})\to \mathbb {Z} \to 0\to 0\to 0\to \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd9e3c9ea06a499d1ebf3d1e43ddc9c440b5c200)
여기서,
는 전사 함수이므로, 이 부분은 끊어 없앨 수 있다. 따라서, 지수열의 자명하지 않은 부분은 다음과 같다.[1]:447
![{\displaystyle 0\to \mathbb {Z} ^{2g}\to \mathbb {C} ^{g}\to \operatorname {Pic} (\Sigma _{g})\to \mathbb {Z} \to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6999c2069e31ee8086268f33c472a5be7951608)
따라서, 야코비 다양체(피카르 군의 항등원의 연결 성분)는 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {J} (\Sigma _{g})=\operatorname {Pic} ^{0}(\Sigma _{g})\cong \mathbb {C} ^{g}/\mathbb {Z} ^{2g}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/829b66eda62231198ef677105bb18a5a61e13df7)
또한, 네롱-세베리 군은 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {NS} (\Sigma _{g})=\operatorname {Pic} (X)/\operatorname {J} (\Sigma _{g})=\mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27d6ff4d9d1f3881bea9b98c21c1980449a0e9a0)
이 동형은 인자의 차수에 의하여 주어진다.