적분 변환
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함수해석학에서 적분 변환(積分變換, 영어: integral transform)은 어떤 핵(영어: kernel)과의 적분으로 정의되는, 함수 공간 또는 단면 공간 위의 선형 변환이다.
정의
[편집]다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
- 매끄러운 다양체
- 두 (유한 차원) 매끄러운 벡터 다발 및
를 통해, 위의 매끄러운 벡터 다발
를 정의할 수 있다.
-핵(核函數, 영어: kernel)은 다음과 같은 꼴의 매끄러운 단면이다.
(여기서 는 매끄러운 단면의 공간을 뜻하며, 는 무게 의 텐서 밀도의 실수 선다발을 뜻한다.)
일반화 단면
[편집]에 추가로 매끄러운 노름이 주어졌다고 하자.
이제, 다음과 같은 실수 벡터 공간을 생각하자.
여기서
이 위에는 균등 노름을 부여하여 노름 공간으로 만들 수 있다.
의 일반화 단면(一般化斷面, 영어: generalized section)의 위상 벡터 공간은 위 노름 공간의 연속 쌍대 공간이다. 이를
로 표기하자.
적분 변환
[편집]-핵 에 대응되는 적분 변환은 다음과 같은 꼴의 실수 선형 변환이다.
성질
[편집]다음 데이터가 주어졌다고 하자.
- 콤팩트 매끄러운 다양체
- 위의 두 (유한 차원) 매끄러운 벡터 다발 및
- 와 위의 (매끄러운) 노름
슈와르츠 핵 정리(Schwartz核定理, 영어: Schwartz kernel theorem)에 따르면, 콤팩트 공간 위에서 핵의 공간과 적분 변환의 공간 사이에는 다음과 같은 표준적인 전단사 실수 선형 변환이 존재한다.
예
[편집]유클리드 공간 위의, 흔히 사용되는 적분 변환들은 다음과 같다.
변환 | 기호 | t1 | t2 | u1 | u2 | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|
푸리에 변환 | |||||||
하틀리 변환 | |||||||
멜린 변환 | |||||||
양측 라플라스 변환 | |||||||
라플라스 변환 | |||||||
바이어슈트라스 변환 | |||||||
항켈 변환 | |||||||
아벨 변환 | |||||||
힐베르트 변환 | |||||||
푸아송 핵 | |||||||
동일 변환 |
역사
[편집]슈와르츠 핵 정리는 로랑 슈와르츠가 1952년에 유클리드 공간에 대하여 발표하였다.[1]
각주
[편집]- ↑ L. Schwartz, "Théorie des noyaux" , Proc. Internat. Congress Mathematicians (Cambridge, 1950) , 1 , Amer. Math. Soc. (1952) pp. 220–230
- Berline, N.; Getzler, E.; Vergne, M. (1992). 《Heat kernels and Dirac operators》. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (영어) 298. Springer-Verlag.
같이 보기
[편집]외부 링크
[편집]위키미디어 공용에 적분 변환 관련 미디어 분류가 있습니다.
- “Integral transform”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Kernel of an integral operator”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Integral operator”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Nuclear bilinear form”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Fredholm kernel”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Schwartz kernel theorem for topological spaces” (영어). Math Overflow.