올뭉치

위상수학에서 올뭉치(영어: fibration 파이브레이션^[*]) 또는 올화(-化) 또는 파이버화(fiber化)는 올다발의 일반화이다. 올다발과 달리, 올들이 서로 호모토피 동치이지만 위상동형이 아닐 수 있다.

정의

위상 공간 $E$, $B$ 사이의 함수 $\pi \colon E\to B$ 및 위상 공간 $X$에 대하여 다음 조건이 성립한다면, $\pi$가 $X{\overset {\times 0}{\hookrightarrow }}X\times [0,1]$에 대하여 오른쪽 올림 성질을 만족시킨다고 한다.

임의의

• 호모토피 $f\colon X\times [0,1]\to B$
• $\pi \circ {\tilde {f}}_{0}=f|_{X\times \{0\}}$인 연속 함수 ${\tilde {f}}_{0}\colon X\to E$

에 대하여, 항상 다음 조건을 만족시키는 호모토피 ${\tilde {f}}\colon X\times [0,1]\to E$가 존재한다.

• $f=\pi \circ {\tilde {f}}$
• ${\tilde {f}}_{0}={\tilde {f}}|_{X\times \{0\}}$

즉, 다음 그림과 같다.

${\begin{matrix}X&{\xrightarrow {{\tilde {f}}_{0}}}&E\\{\scriptstyle \times \{0\}}\downarrow &\nearrow \scriptstyle {\tilde {f}}&\downarrow \scriptstyle \pi \\X\times [0,1]&{\xrightarrow[{f}]{}}&B\end{matrix}}$

위상 공간 $E$, $B$ 사이의 함수 $\pi \colon E\to B$가 임의의 위상 공간 $X$에 대하여 오른쪽 올림 성질을 만족시킨다면, 후레비치 올뭉치(영어: Hurewicz fibration)라고 한다.

위상 공간 $E$, $B$ 사이의 함수 $\pi \colon E\to B$가 임의의 CW 복합체 $X$에 대하여 오른쪽 올림 성질을 만족시킨다면, 세르 올뭉치(영어: Serre fibration)라고 한다.

후레비치 올뭉치 또는 세르 올뭉치 $\pi \colon E\to B$의, $b\in B$에서의 올(영어: fiber)은 원상 $f^{-1}(b)\subseteq E$이다.

성질

$B$가 파라콤팩트 공간이라면, 올다발 $\pi \colon E\to B$는 항상 후레비치 올뭉치를 이룬다. 모든 후레비치 올뭉치는 세르 올뭉치이다.

만약 $B$가 경로 연결 공간이라면, 후레비치 올뭉치 $E\to B$의 모든 올들은 서로 호모토피 동치이다. 그러나 올들은 (올다발과 달리) 서로 위상동형일 필요가 없다.

밑 $B$가 경로 연결 공간인 올다발 $E\to B$의 올이 $F$라면, 전체 공간 $E$의 오일러 지표는 밑과 올의 오일러 지표의 곱이다.

$\chi (E)=\chi (B)\chi (F)$

이는 세르 스펙트럼 열을 통해 보일 수 있다.

예

모든 올다발은 (모든 올이 서로 위상 동형인) 세르 올뭉치이다.

임의의 경로 연결 점을 가진 공간 $(X,\bullet _{X})$에 대하여, 고리 공간 $\Omega X=[\mathbb {S} ^{1},X]_{\bullet }$ 및 경로 공간 ${\mathcal {P}}X=[\mathbb {I} ,X]_{\bullet }$을 생각하자. 여기서 $\mathbb {I}$는 밑점 0을 가진 폐구간 $[0,1]$이다. 그렇다면, 다음과 같은 세르 올뭉치가 존재한다.

$\Omega X\hookrightarrow {\mathcal {P}}X\twoheadrightarrow X$

여기서 사영 사상 ${\mathcal {P}}X\twoheadrightarrow X$는 다음과 같다.

$(\gamma \colon [0,1]\to X,\gamma (0)=\bullet _{X})\mapsto \gamma (1)$

역사

세르 올뭉치의 개념은 장피에르 세르가 1951년에 박사 학위 논문에서 도입하였다. 후레비치 올뭉치의 개념은 비톨트 후레비치가 1955년에 도입하였다.

같이 보기

• 모형 범주
• 올다발

외부 링크

• “Hurewicz fibration”. 《nLab》 (영어). 
• “Serre fibration”. 《nLab》 (영어). 
• “Hurewicz connection”. 《nLab》 (영어). 
• “Example of fiber bundle that is not a fibration” (영어). Math Overflow.