확률론 에르미트 다항식
H
n
(
x
)
{\displaystyle H_{n}(x)}
의 그래프 (
n
=
1
,
…
,
6
{\displaystyle n=1,\ldots ,6}
)
물리학 에르미트 다항식
H
~
n
(
x
)
{\displaystyle {\tilde {H}}_{n}(x)}
의 그래프 (
n
=
1
,
…
,
6
{\displaystyle n=1,\ldots ,6}
)
수학 에서 에르미트 다항식 (Hermite多項式, 영어 : Hermite polynomial )은 직교 관계를 만족시키는 일련의 다항식 들이다.
에르미트 다항식은 확률론 과 물리학 에서 쓰이는 정의가 조금씩 다르다. (확률론에서의) 에르미트 다항식
H
n
(
x
)
{\displaystyle H_{n}(x)}
은 다음과 같다.
H
n
(
x
)
=
(
−
1
)
n
e
x
2
/
2
d
n
d
x
n
e
−
x
2
/
2
=
(
x
−
d
d
x
)
n
1
=
exp
(
−
1
2
d
2
d
x
2
)
x
n
{\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}/2}=\left(x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}1=\exp \left(-{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\right)x^{n}}
물리학에서 쓰이는 에르미트 다항식
H
~
n
(
x
)
{\displaystyle {\tilde {H}}_{n}(x)}
은 다음과 같다.
H
~
n
(
x
)
=
2
n
/
2
H
n
(
2
x
)
=
(
−
1
)
n
e
x
2
d
n
d
x
n
e
−
x
2
=
(
2
x
−
d
d
x
)
n
1
{\displaystyle {\tilde {H}}_{n}(x)=2^{n/2}H_{n}({\sqrt {2}}x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}=\left(2x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}1}
이 문서에서는 확률론에서의 에르미트 다항식 정의를 사용한다.
확률론의 에르미트 다항식들은 아펠 다항식열 을 이룬다. 즉, 다음과 같은 수열을 정의하자.
exp
(
−
t
2
/
2
)
=
∑
n
=
0
∞
h
n
t
n
/
n
!
{\displaystyle \exp(-t^{2}/2)=\sum _{n=0}^{\infty }h_{n}t^{n}/n!}
h
n
=
{
(
−
1
)
n
/
2
(
n
/
2
)
!
!
2
∣
n
0
2
∤
n
{\displaystyle h_{n}={\begin{cases}(-1)^{n/2}(n/2)!!&2\mid n\\0&2\nmid n\end{cases}}}
여기서
n
!
!
=
∏
k
=
0
m
(
n
−
2
k
)
=
n
(
n
−
2
)
(
n
−
4
)
⋯
{\displaystyle n!!=\prod _{k=0}^{m}(n-2k)=n(n-2)(n-4)\cdots }
는 이중 계승(영어 : double factorial )이다.
그렇다면, 에르미트 다항식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
H
n
(
x
)
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
h
n
{\displaystyle H_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}h_{n}}
이는 아펠 다항식열 의 음계산법 으로 간편하게 나타낼 수 있다. 구체적으로, 음변수
h
{\displaystyle {\mathsf {h}}}
에 대하여 선형 범함수
L
:
h
n
→
h
n
{\displaystyle L\colon {\mathsf {h}}^{n}\to h_{n}}
를 정의하면, 에르미트 다항식은 다음과 같다.
H
n
(
x
)
=
L
(
(
x
+
h
)
n
)
{\displaystyle H_{n}(x)=L\left((x+{\mathsf {h}})^{n}\right)}
H
~
n
(
x
)
=
L
(
(
2
x
+
2
h
)
n
)
{\displaystyle {\tilde {H}}_{n}(x)=L\left((2x+{\sqrt {2}}{\mathsf {h}})^{n}\right)}
즉, 구체적으로
L
{\displaystyle L}
은 다음과 같다.
L
:
Q
[
x
+
h
]
↦
Q
[
x
]
{\displaystyle L\colon \mathbb {Q} [x+{\mathsf {h}}]\mapsto \mathbb {Q} [x]}
L
=
eval
x
+
h
↦
x
exp
(
−
d
2
d
(
x
+
h
)
2
)
{\displaystyle L=\operatorname {eval} _{x+{\mathsf {h}}\mapsto x}\exp \left(-{\frac {d^{2}}{d(x+{\mathsf {h}})^{2}}}\right)}
L
{\displaystyle L}
의 역범함수는 마찬가지로 다음과 같다.
L
−
1
:
Q
[
x
]
↦
Q
[
x
+
h
]
{\displaystyle L^{-1}\colon \mathbb {Q} [x]\mapsto \mathbb {Q} [x+{\mathsf {h}}]}
L
−
1
=
eval
x
↦
x
+
h
exp
(
1
2
d
2
d
x
2
)
{\displaystyle L^{-1}=\operatorname {eval} _{x\mapsto x+{\mathsf {h}}}\exp \left({\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\right)}
(확률론에서의) 에르미트 다항식은 다음과 같은 직교 관계를 만족시킨다.
∫
−
∞
∞
H
m
(
x
)
H
n
(
x
)
exp
(
−
x
2
/
2
)
d
x
=
2
π
n
!
δ
m
n
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)\exp(-x^{2}/2)\,dx={\sqrt {2\pi }}n!\delta _{mn}}
여기서
δ
m
n
{\displaystyle \delta _{mn}}
은 크로네커 델타 이다. 또한, 이들은 힐베르트 공간
L
2
(
R
,
exp
(
−
x
2
/
2
)
)
{\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,\exp(-x^{2}/2))}
의 완비기저를 이룬다. 여기서
L
2
(
R
,
exp
(
−
x
2
/
2
)
)
{\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,\exp(-x^{2}/2))}
은 다음과 같은 내적이 주어진 함수공간이다.
⟨
f
|
g
⟩
=
∫
−
∞
∞
f
¯
(
x
)
g
(
x
)
exp
(
−
x
2
/
2
)
d
x
{\displaystyle \langle f|g\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }{\bar {f}}(x)g(x)\exp(-x^{2}/2)\,dx}
(확률론에서의) 에르미트 다항식은 다음과 같은 에르미트 미분 방정식 (영어 : Hermite differential equation )의 해를 이룬다.
d
d
x
(
exp
(
−
x
2
/
2
)
d
d
x
H
)
=
λ
exp
(
−
x
2
/
2
)
H
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\exp(-x^{2}/2){\frac {d}{dx}}H\right)=\lambda \exp(-x^{2}/2)H}
여기서
λ
{\displaystyle \lambda }
는 임의의 상수이다. 즉,
H
{\displaystyle H}
는 미분 연산자
exp
(
x
2
/
2
)
d
d
x
exp
(
−
x
2
/
2
)
d
d
x
{\displaystyle \exp(x^{2}/2){\frac {d}{dx}}\exp(-x^{2}/2){\frac {d}{dx}}}
의 고유함수 이다.
(확률론에서의) 에르미트 다항식은 아펠 다항식열 이므로, 점화식 을 갖는다. 구체적으로, 선형 범함수
L
−
1
:
H
n
(
x
)
↦
(
x
+
h
)
n
{\displaystyle L^{-1}\colon H_{n}(x)\mapsto (x+{\mathsf {h}})^{n}}
L
−
1
=
eval
x
↦
x
+
h
exp
(
1
2
d
2
d
x
2
)
{\displaystyle L^{-1}=\operatorname {eval} _{x\mapsto x+{\mathsf {h}}}\exp \left({\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\right)}
를 생각하자. 그렇다면 에르미트 다항식이 만족시키는 점화식은 다음과 같다.
H
n
+
1
(
x
)
=
(
x
−
d
d
(
d
/
d
x
)
ln
exp
(
(
d
/
d
x
)
2
/
2
)
)
H
n
(
x
)
=
(
x
−
d
d
x
)
H
n
(
x
)
=
x
H
n
(
x
)
−
n
H
n
−
1
(
x
)
{\displaystyle H_{n+1}(x)=\left(x-{\frac {d}{d(d/dx)}}\ln \exp \left((d/dx)^{2}/2\right)\right)H_{n}(x)=\left(x-{\frac {d}{dx}}\right)H_{n}(x)=xH_{n}(x)-nH_{n-1}(x)}
즉
H
n
+
1
(
x
)
=
x
H
n
(
x
)
−
n
H
n
−
1
(
x
)
{\displaystyle H_{n+1}(x)=xH_{n}(x)-nH_{n-1}(x)}
H
~
n
+
1
(
x
)
=
2
x
H
n
(
x
)
−
2
n
H
n
−
1
(
x
)
{\displaystyle {\tilde {H}}_{n+1}(x)=2xH_{n}(x)-2nH_{n-1}(x)}
이다.
에르미트 다항식열의 지수 생성 함수 는 다음과 같다.
∑
n
=
0
∞
H
n
(
x
)
t
n
/
n
!
=
exp
(
x
t
−
t
2
/
2
)
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x)t^{n}/n!=\exp(xt-t^{2}/2)}
∑
n
=
0
∞
H
~
n
(
x
)
t
n
/
n
!
=
exp
(
2
x
t
−
t
2
)
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\tilde {H}}_{n}(x)t^{n}/n!=\exp(2xt-t^{2})}
이는 에르미트 다항식의 계수의 지수 생성 함수
∑
n
=
0
∞
h
n
t
n
/
n
!
=
L
(
t
h
)
=
exp
(
−
t
2
/
2
)
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }h_{n}t^{n}/n!=L(t{\mathsf {h}})=\exp(-t^{2}/2)}
로부터 유도할 수 있다. 음계산법 을 사용하면,
∑
n
=
0
∞
H
n
(
x
)
t
n
/
n
!
=
L
∑
n
=
0
∞
exp
(
t
(
x
+
h
)
)
=
exp
(
x
t
)
L
exp
(
t
h
)
=
exp
(
x
t
−
t
2
/
2
)
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x)t^{n}/n!=L\sum _{n=0}^{\infty }\exp \left(t(x+{\mathsf {h}})\right)=\exp(xt)L\exp(t{\mathsf {h}})=\exp(xt-t^{2}/2)}
이다.
(확률론에서의) 에르미트 다항식의 미분은 다음과 같다.
d
d
x
H
n
(
x
)
=
n
H
n
−
1
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}H_{n}(x)=nH_{n-1}(x)}
d
d
x
H
~
n
(
x
)
=
2
n
H
~
n
−
1
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\tilde {H}}_{n}(x)=2n{\tilde {H}}_{n-1}(x)}
에르미트 다항식은 아펠 다항식열 을 이루므로, 이는 음계산법 으로 다음과 같이 간단히 적을 수 있다.
d
d
x
H
n
(
x
)
=
d
d
x
L
(
(
x
+
h
)
n
)
=
L
(
d
d
x
(
x
+
h
)
n
)
=
L
(
n
(
x
+
h
)
n
−
1
)
=
n
H
n
−
1
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}H_{n}(x)={\frac {d}{dx}}L\left((x+{\mathsf {h}})^{n}\right)=L\left({\frac {d}{dx}}(x+{\mathsf {h}})^{n}\right)=L\left(n(x+{\mathsf {h}})^{n-1}\right)=nH_{n-1}(x)}
확률론에서의 에르미트 다항식은 다음과 같다. (OEIS 의 수열 A096713 )
H
0
(
x
)
=
1
{\displaystyle H_{0}(x)=1}
H
1
(
x
)
=
x
{\displaystyle H_{1}(x)=x}
H
2
(
x
)
=
x
2
−
1
{\displaystyle H_{2}(x)=x^{2}-1}
H
3
(
x
)
=
x
3
−
3
x
{\displaystyle H_{3}(x)=x^{3}-3x}
H
4
(
x
)
=
x
4
−
6
x
2
+
3
{\displaystyle H_{4}(x)=x^{4}-6x^{2}+3}
H
5
(
x
)
=
x
5
−
10
x
3
+
15
x
{\displaystyle H_{5}(x)=x^{5}-10x^{3}+15x}
H
6
(
x
)
=
x
6
−
15
x
4
+
45
x
2
−
15
{\displaystyle H_{6}(x)=x^{6}-15x^{4}+45x^{2}-15}
H
7
(
x
)
=
x
7
−
21
x
5
+
105
x
3
−
105
x
{\displaystyle H_{7}(x)=x^{7}-21x^{5}+105x^{3}-105x}
H
8
(
x
)
=
x
8
−
28
x
6
+
210
x
4
−
420
x
2
+
105
{\displaystyle H_{8}(x)=x^{8}-28x^{6}+210x^{4}-420x^{2}+105}
H
9
(
x
)
=
x
9
−
36
x
7
+
378
x
5
−
1260
x
3
+
945
x
{\displaystyle H_{9}(x)=x^{9}-36x^{7}+378x^{5}-1260x^{3}+945x}
H
10
(
x
)
=
x
10
−
45
x
8
+
630
x
6
−
3150
x
4
+
4725
x
2
−
945
{\displaystyle H_{10}(x)=x^{10}-45x^{8}+630x^{6}-3150x^{4}+4725x^{2}-945}
물리학에서의 에르미트 다항식은 다음과 같다.
H
~
0
(
x
)
=
1
{\displaystyle {\tilde {H}}_{0}(x)=1}
H
~
1
(
x
)
=
2
x
{\displaystyle {\tilde {H}}_{1}(x)=2x}
H
~
2
(
x
)
=
4
x
2
−
2
{\displaystyle {\tilde {H}}_{2}(x)=4x^{2}-2}
H
~
3
(
x
)
=
8
x
3
−
12
x
{\displaystyle {\tilde {H}}_{3}(x)=8x^{3}-12x}
H
~
4
(
x
)
=
16
x
4
−
48
x
2
+
12
{\displaystyle {\tilde {H}}_{4}(x)=16x^{4}-48x^{2}+12}
H
~
5
(
x
)
=
32
x
5
−
160
x
3
+
120
x
{\displaystyle {\tilde {H}}_{5}(x)=32x^{5}-160x^{3}+120x}
H
~
6
(
x
)
=
64
x
6
−
480
x
4
+
720
x
2
−
120
{\displaystyle {\tilde {H}}_{6}(x)=64x^{6}-480x^{4}+720x^{2}-120}
H
~
7
(
x
)
=
128
x
7
−
1344
x
5
+
3360
x
3
−
1680
x
{\displaystyle {\tilde {H}}_{7}(x)=128x^{7}-1344x^{5}+3360x^{3}-1680x}
H
~
8
(
x
)
=
256
x
8
−
3584
x
6
+
13440
x
4
−
13440
x
2
+
1680
{\displaystyle {\tilde {H}}_{8}(x)=256x^{8}-3584x^{6}+13440x^{4}-13440x^{2}+1680}
H
~
9
(
x
)
=
512
x
9
−
9216
x
7
+
48384
x
5
−
80640
x
3
+
30240
x
{\displaystyle {\tilde {H}}_{9}(x)=512x^{9}-9216x^{7}+48384x^{5}-80640x^{3}+30240x}
H
~
10
(
x
)
=
1024
x
10
−
23040
x
8
+
161280
x
6
−
403200
x
4
+
302400
x
2
−
30240
{\displaystyle {\tilde {H}}_{10}(x)=1024x^{10}-23040x^{8}+161280x^{6}-403200x^{4}+302400x^{2}-30240}
에르미트 다항식은 피에르시몽 라플라스 가 1810년 정의하였다.[1] 이후 파프누티 체비쇼프 가 이들을 1859년 자세히 연구하였다.[2] 샤를 에르미트 는 이 함수들에 대하여 1864년 연구하였고,[3] [4] 이에 따라 에르미트의 이름이 붙게 되었다.
에르미트 다항식은 양자역학 에서 양자 조화 진동자 의 에너지 고유상태의 파동 함수 에 등장한다.
Szegő, Gábor (1955). 《Orthogonal Polynomials》 (영어) 2판. American Mathematical Society.
Temme, Nico (1996). 《Special Functions: An Introduction to the Classical Functions of Mathematical Physics》 (영어). New York: Wiley.