모듈라이 (물리학)

양자장론과 끈 이론에서 모듈라이(영어: modulus 모듈러스^[*] 단수형, 영어: moduli 모듈라이^[*] 복수형)는 그 퍼텐셜이 연속적인 최소점을 갖는 스칼라장이다. 모듈라이들의 집합을 모듈라이 공간(moduli space, space of moduli)이라고 한다.

정의

3차원 이상의 양자장론에서, 바닥 상태가 유일하지 않을 수 있다. 이런 현상은 (푸앵카레 대칭을 가정한다면) 어떤 스칼라장이 진공 기댓값을 가지게 되어 발생한다. (푸앵카레 대칭이 자발 대칭 깨짐을 겪지 않으려면, 스칼라장이 아닌 다른 스핀을 갖는 장들은 진공 기댓값을 가질 수 없다.) 이 경우, 가능한 바닥 상태들의 공간을 모듈라이 공간이라고 하며, 그 좌표에 대응되는 스칼라장을 모듈라이라고 한다.

기하학적으로, 스칼라장은 (시그마 모형으로 생각하여) 어떤 매끄러운 다양체 또는 오비폴드 위의 값을 가지며, 그 위에 퍼텐셜이 존재한다. 이 경우, 모듈라이 공간은 퍼텐셜이 최솟값을 가지게 되는 점들로 구성되는 부분 공간이다.

예

끈 이론의 모듈라이

끈 이론은 다양한 고전해(배경, 영어: background)에 대하여 축소화할 수 있다. 이 때, 배경은 여러 매개변수(끈의 결합 상수, 축소화 차원들의 크기와 모양 등)를 가지는데, 축소화한 유효 이론에서 이 매개변수들은 스칼라장의 진공 기댓값들로 나타내어진다. 따라서 끈 이론의 배경의 매개변수들은 그 유효 양자장론의 모듈라이들과 대응하게 된다. 이 때문에 끈 이론에서는 가능한 배경들의 집합을 "모듈라이 공간"이라고 일컫는다.

초대칭 게이지 이론의 모듈라이

대부분의 양자장론들은 자명한 모듈라이 공간을 가지지만, 초대칭을 가지는 이론들 (초중력, 초대칭 게이지 이론 등)은 매우 복잡한 모듈라이 공간을 가지는 경우가 많다.

예를 들어, 4차원 ${\mathcal {N}}=1$ 초대칭을 가지는 이론의 모듈라이 공간은 켈러 다양체이어야 한다.^{:446, 463} 만약 이 이론이 중력을 포함한다면 (즉, 초중력이라면) 그 모듈라이 공간은 켈러 다양체일 뿐만 아니라 호지 다양체(Hodge manifold, 그 켈러 형식 $\omega$의 코호몰로지 모임이 정수 계수의 코호몰로지의 원소인 켈러 다양체)이어야 한다.

${\mathcal {N}}>1$ 초대칭 이론

4차원 ${\mathcal {N}}=2$ 초대칭 게이지 이론의 모듈라이 공간은 다음과 같은 가지(branch)들로 이루어진다.

• 쿨롱 가지(Coulomb branch)는 벡터 초다중항(vector supermultiplet, 벡터장과 디랙 스피너, 복소 스칼라장으로 이루어진 초다중항)의 스칼라가 진공 기댓값을 가진다. 이 가지의 모듈라이 공간은 (중력을 포함하지 않는 경우) 강성 특수 켈러 다양체(rigid special Kähler manifold)라는 구조를 가진다.^{:464, 511} 중력을 포함하는 경우, 이 모듈라이 공간은 사영 특수 켈러 다양체(projective Kähler manifold)이다.^{:464, 511} 사영 특수 켈러 다양체는 국소 특수 켈러 다양체(영어: local special Kähler manifold) 또는 단순히 특수 켈러 다양체로 불리기도 한다.
• 힉스 가지(Higgs branch)는 하이퍼 초다중항(hypermultiplet, 디랙 스피너와 두 개의 복소 스칼라장으로 이루어진 초다중항)의 스칼라가 진공 기댓값을 가진다 (힉스 메커니즘). 이 가지의 모듈라이 공간은 (초중력을 포함하지 않는 경우) 초켈러 다양체를 이룬다.^:463,501 만약 이 이론이 초중력을 포함하면, 모듈라이 공간은 보다 더 일반적인 사원수 켈러 다양체를 이룬다.^{:464, 509}
• 혼합 가지(mixed branch)는 벡터 초다중항과 하이퍼 초다중항 둘 다 진공 기댓값을 가지는 경우다.

${\mathcal {N}}=4$ 초대칭 게이지 이론의 모듈라이 공간은 아예 리만 곡률을 가지지 않는다.^:460 또한, 일반적으로 최대 초중력(maximal supergravity, 주어진 차원에서 최다의 초대칭을 가지는 중력 이론)들의 모듈라이 공간은 동차공간 $G/H$ ($G$, $H$는 리 군)의 꼴이다.^:455 11차원 초중력은 아예 스칼라장을 포함하지 않으므로 모듈라이 공간이 없다. 최대 초중력에서는 낮은 차원일수록 더 모듈라이 공간이 커지는데, 이는 높은 차원의 이론을 축소화하여 낮은 차원의 이론을 얻을 수 있기 때문이다.

특수기하학

특수기하학(영어: special geometry)은 ${\mathcal {N}}=2$ 초대칭 이론의 쿨롱 가지 모듈라이 공간을 나타내는 기하학이다. 또한, 복소3차원 칼라비-야우 다양체의 복소 구조 모듈라이의 모듈라이 공간도 사영특수기하학으로 나타내어진다.

강성 특수 켈러 다양체(영어: rigid special Kähler manifold) $(M,E,\Omega )$는 다음과 같은 데이터로 이루어진다.^:104

• 복소 g차원 켈러 다양체 M
• 군 표현 $\phi \colon \pi _{1}(M)\to \operatorname {Sp} (2g,\mathbb {Z} )$. 이를 사용하여, 올이 격자 $(\mathbb {Z} ^{2g},\eta )$인 올다발 $\Gamma$를 정의할 수 있다. 여기서 $\eta$는 격자 위에 정의된 심플렉틱 형식이다.
• L이 $M$ 위에 정의된 평탄한 복소 선다발이라고 하면, 복소2g차원 해석적 벡터다발 $E=\Gamma \otimes L$. 이에 따라 $E$의 올은 $\eta$에 따라 심플렉틱 벡터 공간을 이룬다.
• E에 주어진 평탄한(곡률이 0인) 코쥘 접속 $(\nabla ,{\bar {\nabla }})$. 여기서 $v$가 $E$의 해석적 단면이라면 ${\bar {\nabla }}v=0$이고, ${\bar {v}}$가 반해석적 단면이라면 $\nabla {\bar {v}}=0$이다.
• $E$의 해석적 단면 $\Omega \subset \Gamma (E)$

이들은 다음 조건을 만족하여야 한다.

• (접속의 평탄성) $\nabla ^{2}={\bar {\nabla }}^{2}=[\nabla ,{\bar {\nabla }}]=0$
• (심플렉틱 구조의 공변상수성) $E$의 해석적 단면 $u,v$에 대하여, $d\eta (u,v)=\eta (\nabla u,v)+\eta (u,\nabla v)$
• (라그랑주 조건) $0=\eta (\nabla \Omega ,\nabla \Omega )\in \Omega ^{(2,0)}M\otimes L$
• (양부호성) $0<-i\eta (\nabla \Omega ,{\bar {\nabla }}{\bar {\Omega }})\in \Omega ^{(1,1)}M\otimes L$
• (켈러 구조와의 호환성) M의 켈러 형식 $K$는 다음과 같다.

$K=-(i/2)\partial {\bar {\partial }}\eta (\Omega ,{\bar {\Omega }})\in \Omega ^{(1,1)}M$

$\eta (\Omega ,{\bar {\Omega }})\in L$이므로, 일반적으로 켈러 형식의 코호몰로지는 자명하지 않다.

사영 특수 켈러 다양체(영어: projective Kähler manifold)의 정의는 강성 특수 켈러 다양체의 정의와 거의 같으나, 조건 가운데 두 개를 다음과 같이 바꾸고, 조건 하나를 추가한다.

• (라그랑주 조건) $0=\eta (\Omega ,\nabla \Omega )$
• (켈러 구조와의 호환성) M의 켈러 형식 $K$는 다음과 같다.

$K=-(i/2)\partial {\bar {\partial }}\ln \eta (\Omega ,{\bar {\Omega }})\in \Omega ^{(1,1)}M$

• (호지 조건) $M$은 호지 다양체(영어: Hodge manifold)여야 한다. 즉, 켈러 형식 $K$의 돌보 코호몰로지 동치류 $[K]\in H^{1,1}(M;\mathbb {C} )$는 정수 계수 코호몰로지 원소이어야 한다: $K\in H^{(1,1)}(M;\mathbb {Z} )$.

2차원 계

2차원 양자장론에서는 일반적으로 머민-바그너 정리에 의하여 모듈라이가 존재하지 않는다. 만약 고전적으로 모듈라이가 존재하는 것처럼 보인다면, 양자역학적으로 실제 바닥 상태는 이 ‘모듈라이 공간’ 위의 어떤 파동 함수로 구성된다.