마티외 군

군론에서 마티외 군(Mathieu群, 영어: Mathieu group) $M_{11}$, $M_{12}$, $M_{22}$, $M_{23}$, $M_{24}$는 각각 11개·12개·22개·23개·24개의 원소들 위의 대칭군의 부분군으로 나타낼 수 있는 5개의 산재군이다.

정의

마티외 군 $M_{11}$, $M_{12}$, $M_{22}$, $M_{23}$, $M_{24}$는 5개의 유한 단순군이다. $M_{k}$는 각각 대칭군 $\operatorname {Sym} (k)$의 부분군으로 나타낼 수 있으며, 구체적으로 다음과 같이 작도할 수 있다.

슈타이너 계를 통한 정의

유한체 $\mathbb {F} _{p^{n}}$ 위의 아핀 평면 $\mathbb {A} _{\mathbb {F} _{p^{n}}}^{2}$에서, 2개의 직선은 유일한 점을 결정하므로, 이는 슈타이너 계 $S(2,p^{n},p^{2n})$를 이룬다. 유한체 $\mathbb {F} _{3}$ 위의 아핀 평면은 슈타이너 계 $S(2,3,9)$를 이루며, 이 슈타이너 계는 유일하다. $S(2,3,9)$에 점들을 추가하여, $S(3,4,10)$, $S(4,5,11)$, $S(5,6,12)$를 만들 수 있다. 이들 역시 동형에 대하여 유일하다.

슈타이너 계 $S(5,6,12)$의 이 슈타이너 계의 자기 동형군은 대칭군 $\operatorname {Sym} (12)$의 부분군이며, 이는 $M_{12}$와 같다. 즉, 마티외 군 $M_{12}$ 크기 12의 집합 $\{1,2,\dots ,12\}$에 작용하며, 이 작용은 5-정추이적(영어: sharply 5-transitive)이다. 따라서, $k=1,2,3,4,5$에 대하여, 점들의 $k$-튜플에 대한 안정자군은 튜플의 선택에 관계없이 서로 동형이다. 이로서 6개의 군

$M_{12-k}\qquad (k=0,1,2,3,4,5)$

을 정의할 수 있으며, 마지막 군 $M_{7}$은 자명군이다.

슈타이너 계 $S(5,8,24)$ 역시 유일하며, 이를 비트 디자인(영어: Witt design)이라고 한다. 이 슈타이너 계의 자기 동형군은 마티외 군 $M_{24}$와 동형이며, $M_{24}$의 크기 24의 집합 위의 작용은 5-추이적(영어: transitive)이지만 5-정추이적이지 않다. 위와 마찬가지로, 1~5개의 점들에 대한 안정자군을 취하여, 6개의 군

$M_{24-k}\qquad (k=0,1,2,3,4,5)$

을 정의할 수 있다. 작용이 정추이적이지 않으므로, 마지막 군 $M_{19}$는 자명군이 아니다.

이 군들 가운데, 오직 $M_{24}$, $M_{23}$, $M_{22}$, $M_{21}$, $M_{12}$, $M_{11}$만이 단순군이고, 이 가운데 $M_{21}$은 예외적인 동형으로 인하여 산재군이 아니다.

순열군으로서의 표현

체 $K$ 위의 사영 특수선형군 $\operatorname {PSL} _{2}(K)$는 $K$ 위의 사영 직선 $K\sqcup \{\infty \}$ 위의 분수선형변환(뫼비우스 변환)들의 군과 같다.

M₁₂

크기 144×660의 마티외 군 $M_{12}$는 크기 660의 사영 특수선형군 $\operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {F} _{11})$을 부분군으로 가지며, 이는 극대 부분군이다. $\operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {F} _{11})$를 사영 직선 $\mathbb {P} _{\mathbb {F} _{11}}^{1}$ 위의 순열군으로 나타내자. 그렇다면, $M_{12}\setminus \operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {F} _{11})$에 속하는 임의의 한 원소만을 제시하면, 이로부터 $M_{12}$가 생성된다. 이러한 원소의 예로는 다음이 있다.

• (0123456789A)
• (1A)(25)(37)(48)(69)
• (26A7)(3945)

여기서

$\mathbb {P} _{\mathbb {F} _{11}}^{1}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,\mathrm {A} ,\infty \}$

이다.

M₂₄

크기가 40320×6072인 군 $M_{24}$는 크기가 6072인 부분군 $\operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {F} _{23})$을 가지며, 이는 극대 부분군이다. 따라서, 마찬가지로 $M_{24}\setminus \operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {F} _{23})$에 속하는 임의의 원소를 제시하면 $M_{24}$가 완전히 결정된다. 이러한 원소의 예로는 다음이 있다.

• (0123456789ABCDEFGHIJKLM)
• (0∞)(1M)(2B)(3F)(4H)(59)(6J)(7D)(8K)(AG)(CL)(EI)
• (2G968)(3CDI4)(7HABM)(EJLKF)

여기서

$\mathbb {P} _{\mathbb {F} _{23}}^{1}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,\mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\mathrm {C} ,\mathrm {D} ,\mathrm {E} ,\mathrm {F} ,\mathrm {G} ,\mathrm {H} ,\mathrm {I} ,\mathrm {J} ,\mathrm {K} ,\mathrm {L} ,\mathrm {M} ,\infty \}$

이다.

이진 골레 부호로의 작도

이진 골레 부호는 24차원 벡터 공간 $\mathbb {F} _{2}^{24}$의 특별한 12차원 부분 공간이다. 이진 골레 부호의 자기 동형군은 마티외 군 $M_{24}$와 동형이다.

이진 골레 부호는 12비트의 정보를 24비트의 부호에 저장한다. 12개의 비트 1로 구성된 부호(영어: dodecad)의 안정자군은 마티외 군 $M_{12}$와 동형이다.

성질

마티외 군들의 크기와 성질은 다음과 같다.

군	크기	성질
M24	48·20·21·22·23·24	5-추이군, 단순군
M23	48·20·21·22·23	4-추이군, 단순군
M22	48·20·21·22	3-추이군, 단순군
M21 = PSL3(𝔽4)	48·20·21	2-추이군, 단순군
M20	48·20	단순군이 아님
M19	48	단순군이 아님
M12	8·9·10·11·12	5-정추이군, 단순군
M11	8·9·10·11	4-정추이군, 단순군
M10	8·9·10	3-정추이군. 단순군이 아님
M9 = PSU3(𝔽4/𝔽2)	8·9	2-정추이군. 단순군이 아님
M8 = Q8	8	사원수군. 1-정추이군. 단순군이 아님
M7 = 1	1	자명군

마티외 군 $M_{19}$는 구체적으로 다음과 같은 꼴의 행렬군이다.^:4

$\left\{{\begin{pmatrix}a&0&0\\b&a^{-1}&0\\c&0&1\end{pmatrix}}\colon a\in \mathbb {F} _{4}^{\times },\;b,c\in \mathbb {F} _{4}\right\}$

다중 추이군

임의의 유한군 $G$에 대하여, 순환군 $\operatorname {Sym} (n)$은 항상 $n$-정추이군(영어: sharply $n$-transitive group)이며, 교대군 $\operatorname {Alt} (n+2)$ 역시 $n$-정추이군이다.

• 모든 6-추이군은 순환군이나 교대군이다.
• 순환군이나 교대군이 아닌 유한군 가운데, 5-추이군인 것은 $M_{24}$와 $M_{12}$밖에 없으며, 이 가운데 $M_{12}$만이 5-정추이군이다.
• 순환군이나 교대군이 아닌 유한군 가운데, 4-추이군이지만 5-추이군이 아닌 것은 $M_{23}$과 $M_{11}$밖에 없으며, 이 가운데 $M_{11}$만이 4-정추이군이다.

역사

프랑스의 수학자 에밀 마티외(영어: Émile Mathieu)가 1861년 논문에서 $M_{12}$^:271와 $M_{24}$^:274를 최초로 언급하였고, 이후 1873년에 이들 두 군에 대한 추가 성질들을 제시하였다.

그러나 마티외가 제시한 두 군이 실재하는지, 이들이 교대군과 동형이 아닌지는 이후 수십 년 동안 논란의 대상이었다. 1898년에 미국의 수학자 조지 에이브럼 밀러(영어: George Abram Miller, 1863~1951)는 $M_{24}$가 존재하지 않는다는 "증명"을 발표하였으나, 이후 1900년에 자신이 "증명"이 오류였음을 시인하였다.

1938년에 에른스트 비트(독일어: Ernst Witt)가 마티외 군들을 슈타이너 계의 자기 동형군으로 나타내었고, 마티외 군에 대한 논란을 종식시켰다.

마티외 군들은 산재군들 가운데 최초로 발견된 것이었으며, 1965년에 얀코 군 $J_{1}$이 발견되기 이전에 알려진 유일하게 알려진 산재군이었다.

각주

• Conway, J. H.; N. J. A. Sloane (1999). 《Sphere Packings, Lattices and Groups》 (영어) 3판. Springer.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• Rotman, Joseph (1994). 《An introduction to the theory of groups》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 148 4판. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-4176-8. ISBN 978-1-4612-8686-8. ISSN 0072-5285. Zbl 0810.20001. 
• Boya, Luis J. (2011). “Introduction to sporadic groups”. 《Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications》 (영어) 7 (9). arXiv:1101.3055. Bibcode:2011SIGMA...7..009B. doi:10.3842/SIGMA.2011.009. 

외부 링크

• “Mathieu group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Mathieu groups”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Mathieu group”. 《nLab》 (영어). 
• “Mathieu moonshine”. 《nLab》 (영어). 
• Richter, David A. “How to Make the Mathieu Group M₂₄” (영어). 2010년 1월 16일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 4월 25일에 확인함. 
• Baez, John (2013년 2월 10일). “M₁₃”. 《The n-Category Café: A Group Blog on Math, Physics and Philosophy》 (영어). 
• “Mathieu group”. 《Groupprops》 (영어). 
  • “Mathieu group M₉”. 《Groupprops》 (영어). 
  • “Mathieu group M₁₀”. 《Groupprops》 (영어). 
  • “Mathieu group M₁₁”. 《Groupprops》 (영어). 
  • “Mathieu group M₁₂”. 《Groupprops》 (영어). 
  • “Mathieu group M₂₂”. 《Groupprops》 (영어). 
  • “Mathieu group M₂₃”. 《Groupprops》 (영어). 
  • “Mathieu group M₂₄”. 《Groupprops》 (영어).