측도론에서 라돈 측도(Radon測度, 영어: Radon measure)는 위상 공간의 구조와 특별히 잘 호환되는, 보렐 시그마 대수 위에 정의되는 측도이다. 국소 콤팩트 공간 위의 라돈 측도는 함수 공간 위의 범함수로 나타낼 수 있다.
하우스도르프 공간
위의 시그마 대수
위의 측도
가 주어졌다고 하자.
의 콤팩트 집합들의 집합족을
로, 열린집합들의 집합족을
로 표기하자.
가측 집합
가 다음 조건을 만족시킨다면,
-내부 정칙 가측 집합(영어:
-inner regular measurable set)이라고 한다.
![{\displaystyle \mu (S)=\sup _{K\in \operatorname {Compact} (X)\cap \Sigma }^{K\subseteq S}\mu (K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74c158df1f78ec23880ab134f608fe1316d82771)
가측 집합
가 다음 조건을 만족시킨다면,
-외부 정칙 가측 집합(영어:
-outer regular measurable set)이라고 한다.
![{\displaystyle \mu (S)=\inf _{U\in \operatorname {Open} (X)\cap \Sigma }^{U\supseteq S}\mu (U)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8c071bfbcbf7950435f6ade7ecba0fc3da9dc15)
만약 모든 가측 집합이
-내부 정칙 가측 집합이라면,
를 내부 정칙 측도(영어: inner-regular measure)라고 한다. 만약 모든 가측 집합이
-외부 정칙 가측 집합이라면,
를 외부 정칙 측도(영어: outer-regular measure)라고 한다.
가 하우스도르프 공간이라고 하자.
보렐 시그마 대수
위의 측도
가 다음을 만족시키면 라돈 측도라고 한다.
- (내부 정칙성) 내부 정칙 측도이다. 즉, 모든 보렐 집합은
-내부 정칙 집합이다.
- (국소 유한성) 모든 점
에 대하여,
인 열린 근방
가 존재한다.
가 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이라고 하자. 임의의 콤팩트 집합
에 대하여,
를 지지집합으로 하는 실수값 연속 함수들의 집합
은 노름
![{\displaystyle \|f\|=\max _{x\in K}|f(x)|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69d19b6163a52567e4bd671554dcb97b5a4c9e4a)
에 따라서 바나흐 공간을 이룬다.
위의, 콤팩트 지지집합을 갖는 실수값 연속 함수의 집합
을 생각하자. 그렇다면
![{\displaystyle {\mathcal {C}}_{\text{comp}}(X;\mathbb {R} )=\bigcup _{K{\text{ compact}}}{\mathcal {C}}_{K}(X;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a42da29e16dd8121299ba422a306462a6352843f)
이므로,
는 국소 볼록 공간의 구조를 가진다.
어떤 실수값 함수 공간
위의 범함수
에 대하여, 만약
인
에 대하여
이라면,
를 음이 아닌 범함수(영어: nonnegative functional)라고 하자. 그렇다면
위의 라돈 측도들의 집합과
위의 음이 아닌 연속 범함수들의 집합 사이에는 자연스러운 일대일 대응이 존재한다. 구체적으로, 라돈 측도
에 대하여,
![{\displaystyle f\in {\mathcal {C}}_{\text{comp}}(X;\mathbb {R} )\mapsto \int _{X}f\,d\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/582a010afc42e837ba34049f2f0ec3deef04d06e)
는 음이 아닌 범함수이다.
보렐 시그마 대수에 국한시킨 르베그 측도는 유클리드 공간 위의 라돈 측도이다.
임의의 하우스도르프 공간
및 점
에 대하여,
의 보렐 시그마 대수 위에 디랙 측도
를 다음과 같이 정의하자.
![{\displaystyle \delta _{x}(B)={\begin{cases}1&x\in B\\0&x\not \in B\end{cases}}\qquad \forall B\in {\mathcal {B}}(X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3da4b67dd48cb7951504acc88eb4cfd8686e93ab)
그렇다면 이는 라돈 측도이다.
유클리드 공간 위의, 보렐 시그마 대수에 국한시킨 셈측도는 라돈 측도가 아니다.
요한 라돈의 이름을 땄다.