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범주론에서 끝(영어: end 엔드[*])과 쌍대끝(雙對-, 영어: coend 코엔드[*])은 어떤 데이터들을 범주론적으로 “이어붙이는” 연산이다.
다음이 주어졌다고 하자.
- 범주
- 함자
그렇다면, 의 쐐기(영어: wedge)는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
- 대상
- 각 에 대하여, 사상
이는 임의의 및 사상 에 대하여, 다음 그림을 가환 그림으로 만들어야 한다.
마찬가지로, 함자 의 쌍대쐐기(영어: cowedge) 는 의 쐐기이다.
함자 의 끝 은 다음과 같은 보편 성질을 만족시키는 쐐기이다.
- 임의의 쐐기 에 대하여, 인 사상 이 유일하게 존재한다.
이는 보편 성질에 의하여 정의되므로, 유일한 동형 사상 아래 유일하다. 이를
로 표기한다.
마찬가지로, 함자 의 쌍대끝은 의 끝이다. 이를
로 표기한다.
다음이 주어졌다고 하자.
- 범주
- 함자
끝에 대한 푸비니 정리(영어: Fubini theorem for ends)에 따르면, 만약
와
와
가 존재한다면, 이 세 대상은 모두 표준적으로 동형이다.[1]:Remark 1.10(2) (이 이름은 측도론의 푸비니 정리에 빗댄 것이다.)
자연 변환[편집]
다음이 주어졌다고 하자.
- 범주
- 국소적으로 작은 범주
- 함자
그렇다면, 다음과 같은 함자를 정의할 수 있다.
이 함자의 끝
은 두 함자 와 사이의 자연 변환들의 집합과 같으며, 그 성분
는 다음과 같다.
즉, 자연 변환들의 집합을 그 성분들의 집합 들을 이어붙인 것으로 여길 수 있다.
기하학적 실현[편집]
위상 공간의 범주 속의 단체 대상
과, 단체의 위상 공간 모형 함자
를 생각하자. 그렇다면, 함자
을 정의할 수 있다. (여기서 우변은 위상 공간의 곱공간이다.)
그렇다면, 그 쌍대끝
을 의 기하학적 실현이라고 한다. 특히, 만약 의 각 성분이 이산 공간일 때 (즉, 단체 집합일 때), 이는 단체 집합의 기하학적 실현을 이룬다.
입방체 집합의 기하학적 실현 역시 마찬가지로 정의된다.
참고 문헌[편집]
외부 링크[편집]