끝 (범주론)

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범주론에서 끝(영어: end 엔드^[*])과 쌍대끝(雙對-, 영어: coend 코엔드^[*])은 어떤 데이터들을 범주론적으로 “이어붙이는” 연산이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 범주 ${\mathcal {C}},{\mathcal {D}}$
• 함자 $F\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$

그렇다면, $F$의 쐐기(영어: wedge)는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 대상 $W\in {\mathcal {D}}$
• 각 $X\in {\mathcal {C}}$에 대하여, 사상 $w_{x}\colon W\to F(X^{\operatorname {op} },X)$

이는 임의의 $X,Y\in {\mathcal {C}}$ 및 사상 $f\in \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)$에 대하여, 다음 그림을 가환 그림으로 만들어야 한다.

${\begin{matrix}W&{\overset {w_{X}}{\to }}&C(X,X)\\{\!\!\!\!\scriptstyle w_{Y}}\downarrow {\scriptstyle \color {White}w_{Y}\!\!\!\!}&&{\!\!\!\!\color {White}\scriptstyle F(\operatorname {id} _{X},f)}\downarrow \scriptstyle F(\operatorname {id} _{X},f)\!\!\!\!\\C(Y,Y)&{\underset {F(f^{\operatorname {op} },\operatorname {id} _{Y})}{\to }}&C(X,Y)\end{matrix}}$

마찬가지로, 함자 $G\colon C^{\operatorname {op} }\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$의 쌍대쐐기(영어: cowedge) $(W,(w_{X}\colon C(X,X)\to W)_{X\in {\mathcal {C}}})$는 $G^{\operatorname {op} }\colon C^{\operatorname {op} }\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}^{\operatorname {op} }$의 쐐기이다.

함자 $F$의 끝 $(E,e)$은 다음과 같은 보편 성질을 만족시키는 쐐기이다.

임의의 쐐기 $(W,w)$에 대하여, $\forall X\in {\mathcal {C}}\colon w_{X}=e_{X}\circ i$인 사상 $i\colon W\to E$이 유일하게 존재한다.

이는 보편 성질에 의하여 정의되므로, 유일한 동형 사상 아래 유일하다. 이를

$\int _{c\in {\mathcal {C}}}F(c,c)$

로 표기한다.

마찬가지로, 함자 $G\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$의 쌍대끝은 $G^{\operatorname {op} }\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}^{\operatorname {op} }$의 끝이다. 이를

$\int ^{c\in {\mathcal {C}}}G(c,c)$

로 표기한다.

성질

다음이 주어졌다고 하자.

• 범주 ${\mathcal {C}},{\mathcal {D}},{\mathcal {E}}$
• 함자 $F\colon ({\mathcal {C}}\times {\mathcal {D}})^{\operatorname {op} }\times {\mathcal {C}}\times {\mathcal {D}}\to {\mathcal {E}}$

끝에 대한 푸비니 정리(영어: Fubini theorem for ends)에 따르면, 만약

$\int _{(X,Y)\in {\mathcal {C}}\times {\mathcal {D}}}F(X,Y,X,Y)$

와

$\int _{X\in {\mathcal {C}}}\int _{Y\in {\mathcal {D}}}F(X,Y,X,Y)$

와

$\int _{Y\in {\mathcal {D}}}\int _{X\in {\mathcal {C}}}F(X,Y,X,Y)$

가 존재한다면, 이 세 대상은 모두 표준적으로 동형이다.^{:Remark 1.10(2)} (이 이름은 측도론의 푸비니 정리에 빗댄 것이다.)

예

자연 변환

 이 부분의 본문은 자연 변환입니다.

다음이 주어졌다고 하자.

• 범주 ${\mathcal {C}}$
• 국소적으로 작은 범주 ${\mathcal {D}}$
• 함자 $F,G\colon X\to {\mathcal {D}}$

그렇다면, 다음과 같은 함자를 정의할 수 있다.

$\hom _{\mathcal {D}}(F(-),G(-))\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\times {\mathcal {C}}\to \operatorname {Set}$

이 함자의 끝

$\int _{X\in {\mathcal {C}}}\hom _{\mathcal {D}}(F(X),G(X))=\operatorname {Nat} (F,G)$

은 두 함자 $F$와 $G$ 사이의 자연 변환들의 집합과 같으며, 그 성분

$\operatorname {Nat} (F,G)\to \hom(F(X),G(X))$

는 다음과 같다.

$(\eta \colon F\Rightarrow G)\mapsto (\eta _{X}\colon F(X)\to G(X))$

즉, 자연 변환들의 집합을 그 성분들의 집합 $\hom _{\mathcal {D}}(F(X),G(X))$들을 이어붙인 것으로 여길 수 있다.

기하학적 실현

 이 부분의 본문은 단체 집합입니다.

위상 공간의 범주 속의 단체 대상

$X\colon \triangle ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Top}$

과, 단체의 위상 공간 모형 함자

$G\colon \triangle \to \operatorname {Top}$

를 생각하자. 그렇다면, 함자

$F\colon \triangle \times \triangle ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Top}$

$F\colon n\mapsto G(n)\times X(n)$

을 정의할 수 있다. (여기서 우변은 위상 공간의 곱공간이다.)

그렇다면, 그 쌍대끝

$|X|=\int ^{n\in \triangle }G(n)\times X(n)$

을 $X$의 기하학적 실현이라고 한다. 특히, 만약 $X$의 각 성분이 이산 공간일 때 (즉, 단체 집합일 때), 이는 단체 집합의 기하학적 실현을 이룬다.

입방체 집합의 기하학적 실현 역시 마찬가지로 정의된다.

$X\colon \square ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Top}$

$G\colon \square \to \operatorname {Top}$

$|X|=\int ^{n\in \square }G(n)\times X(n)$

참고 문헌

• Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 5 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

외부 링크

• “End”. 《nLab》 (영어). 
• “Intuition for coends”. 《Math Overflow》 (영어). 
• “Why do we denote (co)ends with integral notation?”. 《Math Overflow》 (영어). 
• Upmeier, Markus. “Dinatural transformations” (PDF) (영어). 2017년 8월 18일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2017년 8월 13일에 확인함. 
• Willerton, Simon (2014년 1월 5일). “Ends”. 《The n-Category Café》 (영어). 
• Milewski, Bartosz (2017년 3월 29일). “Ends and coends”. 《Bartosz Milewski’s Programming Cafe》 (영어). 
• Milewski, Bartosz (2014년 7월 15일). “Natural transformations and ends”. 《Bartosz Milewski’s Programming Cafe》 (영어).