일반위상수학에서 근방 필터(近傍filter, 영어: neighbo(u)rhood filter)는 주어진 점의 모든 근방들로 구성된 필터이다. 일반위상수학에서 필터는 점렬과 그물의 일반화로 사용되며, 필터가 주어진 점에 수렴(영어: converge)하는 것은 필터가 주어진 점의 근방 필터를 부분 집합으로 포함하는 것이다.
위상 공간
의 부분 집합
의 근방들의 집합
![{\displaystyle {\mathcal {N}}_{S}=\uparrow \left({\mathcal {T}}\cap \uparrow S\right)=\{N\subseteq X\colon S\subseteq U\subseteq N,\;U\in {\mathcal {T}}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/172ef198b96d7718e76676eb7a8ca835f989f021)
은 멱집합
속의 필터를 이루며, 이를
의 근방 필터 또는 근방계(近傍系, 영어: neighbo(u)rhood system)
라고 한다.
의 점
의 근방 필터는 한원소 집합
의 근방 필터를 뜻하며,
로 표기한다.
근방 필터
의 공시작 집합 (즉,
이 되는 부분 집합
)을
의 국소 기저(局所基底, 영어: local base)라고 한다.
필터의 수렴[편집]
위상 공간
위의 필터
및 점
가 주어졌다고 하자. 만약
라면,
가
로 수렴한다(영어: converge)고 하고,
![{\displaystyle {\mathcal {F}}\to x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb14c681b2fc7574def78352654fc582a1be349d)
로 표기한다. 이 경우,
를
의 극한(영어: limit)이라고 한다.
보다 일반적으로,
위의 필터 기저
및 점
에 대하여, 만약
라면,
가
로 수렴한다고 한다.
위상 공간
위의 자명한 필터
는 모든 점에 수렴한다.
위상 공간
의 모든 점
이 가산 집합인 국소 기저를 갖는다면,
를 제1 가산 공간이라고 한다.
분리 공리[편집]
위상 공간
에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.
전체가 아닌,
위의 모든 필터가 수렴하는 점의 수는 1개 이하이다.
- 임의의 두 점
에 대하여,
라면,
이자
이다.
- 임의의 두 점
에 대하여,
이자
이며
인 열린집합
가 존재한다.
- 하우스도르프 공간이다.
그물과의 관계[편집]
임의의 그물이 주어진 점으로 수렴하는지 여부는 이에 대응되는 유도 필터가 그 점으로 수렴하는지 여부와 동치이다. 마찬가지로, 임의의 필터가 주어진 점으로 수렴하는지 여부는 이에 대응되는 그물이 그 점으로 수렴하는지 여부와 동치이다.
이산 공간
의 점
의 근방 필터는 주 필터
이다. 비이산 공간
의 점
의 근방 필터는
이다.
거리 공간
에서, 다음과 같은 집합은 점
의 국소 기저를 이룬다.
![{\displaystyle \{\operatorname {ball} (x,1/n)\colon n\in \mathbb {Z} ^{+}\}=\left\{\{y\in X\colon d(x,y)<1/n\}\colon n\in \mathbb {Z} ^{+}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94ff413ba5741e867320e73f97e1ca28f690e40f)
참고 문헌[편집]
외부 링크[편집]