프레드홀름 작용소
함수해석학에서 프레드홀름 작용소(Fredholm作用素, 영어: Fredholm operator)는 두 바나흐 공간 사이의, 핵과 여핵이 유한 차원인 유계 작용소이다. 이 경우, 핵의 차원과 여핵의 차원의 차를 그 지표(指標, 영어: index 인덱스[*])라고 한다.
정의[편집]
이며, 와 가 -바나흐 공간이라고 하자. 와 사이의 -유계 작용소 에 대하여, 다음 세 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 -유계 작용소를 프레드홀름 작용소라고 한다.
- 의 핵 과 여핵 이 유한 차원의 벡터 공간이다.[1]:156 여기서 는 공역의 그 상에 대한 몫공간이다.
- 핵 과 여핵 이 유한 차원이며, 또한 그 상 가 닫힌집합이다.
- 는 콤팩트 작용소를 제외하고 가역이다. 즉, 유계 작용소 가 존재하여, 와 둘 다 콤팩트 작용소이다.
프레드홀름 작용소 의 지표 는 그 핵의 차원과 여핵의 차원의 차다.
- .
성질[편집]
연산에 대한 닫힘[편집]
프레드홀름 작용소들은 합성에 대하여 닫혀 있으며, 이는 지표에 대하여 가법(加法)이다. 즉, 임의의 세 -바나흐 공간 사이의 두 프레드홀름 작용소
가 주어졌을 때, 역시 프레드홀름 작용소이며,
이다.
프레드홀름 작용소와 콤팩트 작용소의 합은 프레드홀름 작용소이며, 그 프레드홀름 지표는 변하지 않는다. 즉, 두 -바나흐 공간 사이의 프레드홀름 작용소 와 콤팩트 작용소 가 주어졌을 때,
이다.
위상수학적 성질[편집]
-유계 작용소의 공간 에 작용소 노름을 부여하자. 그렇다면, 프레드홀름 작용소들의 집합
은 그 속의 열린집합이다.
아티야-싱어 지표 정리[편집]
매끄러운 다양체 위의 매끄러운 벡터 다발의 매끄러운 단면 공간 위의 프레드홀름 작용소의 지표는 아티야-싱어 지표 정리로 계산된다.
예[편집]
만약 와 가 유한 차원 바나흐 공간이라면, 그 사이의 모든 유계 작용소는 프레드홀름 작용소이다. 즉, 프레드홀름 작용소의 개념은 무한 차원에서만 의미가 있다.
임의의 -바나흐 공간 위의 항등 함수는 (자명하게) 지표 0의 프레드홀름 작용소이다.
밀기[편집]
를 생각하자. 그렇다면, 밀기 연산자(영어: shift operator)
를 생각할 수 있다. 이 경우
이므로
이다.
역사[편집]
적분 방정식 이론을 개척한 스웨덴의 수학자 에리크 이바르 프레드홀름[2][3]의 이름을 땄다.
각주[편집]
- ↑ Abramovich, Yuri A.; Aliprantis, Charalambos D. (2002). 《An invitation to operator theory》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 50. American Mathematical Society. ISBN 082182146-6.
- ↑ Fredholm, Ivar (1900). “Sur une nouvelle méthode pour la résolution du probléme de Dirichlet”. 《Kong. Vetenskaps-Akademiens Fbrh. Stockholm》 (프랑스어): 39–46.
- ↑ Fredholm, Ivar (1903년 12월). “Sur une classe d’équations fonctionnelles”. 《Acta Mathematica》 (프랑스어) 27 (1): 365–390. doi:10.1007/BF02421317.
- D.E. Edmunds, W.D. Evans (1987). 《Spectral theory and differential operators》 (영어). Oxford University Press. ISBN 0-19-853542-2.
- Driver, Bruce K. (2003년 6월 9일). 《Analysis Tools with Applications》 (PDF) (영어). 579–600쪽.
외부 링크[편집]
- “Fredholm operator”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.