가산 생성 공간: 두 판 사이의 차이

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2022년 1월 15일 (토) 19:00 판

일반위상수학에서, 가산 생성 공간(可算生成空間, 영어: countably generated space) 또는 가산 밀착 공간(可算密着空間, 영어: countably tight space)은 그 위상이 가산 부분 공간들에 의하여 결정되는 위상 공간이다. 이와 동치인 정의로서, 부분 집합폐포점이 항상 그 가산 부분 집합의 폐포점일 정도로 ‘지나치게 촘촘하지 않은’ 위상 공간이다.

정의

국소 가산 공간

위상 공간 국소 크기(局所크기, 영어: local cardinality) 는 모든 점 이 크기 이하의 근방 을 갖는 최소 기수 이다.[1]:148

국소 크기가 이하인 위상 공간국소 가산 공간이라고 한다. 즉, 국소 가산 공간은 모든 점이 가산 근방을 갖는 위상 공간이다.[1]:149

가산 생성 공간

위상 공간 의 점 에서의 국소 밀착도(局所密着度, 영어: local tightness) 는 다음 조건을 만족시키는 최소 기수 이다.[2]:62, §XI.A

  • 임의의 에 대하여, 만약 라면, 이며 가 존재한다.

위상 공간 밀착도(密着度, 영어: tightness) 는 국소 밀착도들의 상한이다.[2]:62, §XI.A[3]:13, §1.2

위상 공간 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 가산 생성 공간이라고 한다.

  • 밀착도가 이하이다.[4]:657 즉, 임의의 에 대하여, 인 가산 부분 집합 가 존재한다.
  • 임의의 에 대하여, 만약 임의의 가산 집합 에 대하여 열린집합이라면, 는 열린집합이다.
  • 임의의 에 대하여, 만약 임의의 가산 집합 에 대하여 닫힌집합이라면, 는 닫힌집합이다.
  • 국소 가산 공간의 몫공간이다.[4]:657

성질

모든 점렬 공간은 가산 생성 공간이자 콤팩트 생성 공간이다. 모든 국소 가산 공간은 가산 생성 공간이다. 가산 생성 콤팩트 하우스도르프 공간이 항상 점렬 공간인지 여부는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론과 독립적이다. 구체적으로, 만약 고유 강제법 공리가 참이라면, 모든 가산 생성 콤팩트 하우스도르프 공간점렬 공간이다.[5]:755 반면 만약 다이아몬드 원리가 참이라면, 점렬 공간이 아닌 가산 생성 콤팩트 하우스도르프 공간이 존재한다.[5]:755

가산 생성 공간의 범주는 위상 공간의 범주 쌍대 반사 부분 범주를 이룬다.

연산에 대한 닫힘

가산 생성 공간은 부분 공간몫공간에 대하여 닫혀 있지만, 연속 함수에 대한 이나 곱공간에 대하여 닫혀 있지는 않다.

부분 공간

임의의 위상 공간 및 그 부분 공간 에 대하여,

이다.[3]:19, Problem 159 특히, 가산 생성 공간의 부분 공간은 항상 가산 생성 공간이다.

몫공간

임의의 위상 공간 및 그 몫공간 에 대하여,

이다.[3]:20, Problem 162 특히, 가산 생성 공간의 몫공간은 항상 가산 생성 공간이다.

연속 함수에 대한 상

가산 생성 공간의 연속적 상은 가산 생성 공간이 아닐 수 있다.[3]:19, Problem 158 예를 들어, 이산 공간의 밀착도는 1이므로 가산 생성 공간이며, 비(非)린델뢰프 공간연속 함수 공간 위에 점별 수렴 위상을 부여하여 만든 공간은 비가산 생성 공간이다. 후자는 그 위상을 이산 위상으로 대체한 공간의 연속적 상이다.

곱공간

임의의 콤팩트 하우스도르프 공간들의 집합 곱공간의 밀착도는 다음과 같다.[6]:86, Theorem 10.6

특히, 가산 개의 가산 생성 콤팩트 하우스도르프 공간들의 곱공간은 가산 생성 공간이다.

콤팩트 공간

기수 가 주어졌을 때, 위상 공간 위의 길이 자유 점렬(영어: free sequence)은 다음 조건을 만족시키는 그물 이다.

콤팩트 공간 의 밀착도는 그 위의 자유 점렬들의 길이들의 상한과 같다.[3]:38, Problem 328

점렬 공간이 아닌 가산 생성 공간

집합 위에 다음 집합들을 열린집합으로 하는 위상을 주자.

  • 통상적인 열린집합
  • 통상적인 0의 열린 근방 과, 통상적인 위상에서 0으로 수렴하는, 0이 아닌 수열 에 대하여,

이는 (가산 공간이므로) 가산 생성 공간이지만, 점렬 공간이 아니다.[7]:62, Excercise 2.10.7 구체적으로, 점렬 열린집합이지만, 열린집합이 아니다.

함수 공간

위상 공간 가 주어졌을 때, 점별 수렴 위상을 부여한 연속 함수 공간 의 밀착도는 다음과 같다.[3]:18, Problem 149

여기서 린델뢰프 수이다. 특히, 가 가산 생성 공간일 필요충분조건은 임의의 유한 번 곱공간 린델뢰프 공간인 것이다.

참고 문헌

  1. Vaughan, J. E. (1980). “Countably compact, locally countable T2-spaces”. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) 80 (1): 147–153. doi:10.2307/2042162. ISSN 0002-9939. JSTOR 2042162. MR 574525. Zbl 0444.54013. 
  2. Rudin, Mary Ellen (1975). 《Lectures on set theoretic topology》. Regional Conference Series in Mathematics (영어). Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1673-X. Zbl 0318.54001. 
  3. Tkachuk, Vladimir V. (2011). 《A Cp-Theory Problem Book: Topological and Function Spaces》. Problem Books in Mathematics (영어). New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4419-7442-6. ISBN 978-1-4419-7441-9. ISSN 0941-3502. LCCN 2011923537. MR 3024898. Zbl 1222.54002. 
  4. Kannan, V. (1974). “A note on countably generated spaces”. 《Archiv der Mathematik》 (영어) 25: 657–658. doi:10.1007/BF01238744. ISSN 0003-889X. Zbl 0296.54024. 
  5. Balogh, Zoltán (1989). “On compact Hausdorff spaces of countable tightness”. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) 105 (3): 755–764. doi:10.2307/2046929. ISSN 0002-9939. JSTOR 2046929. MR 0930252. Zbl 0687.54006. 
  6. Monk, J. Donald (1990). 《Cardinal Functions on Boolean Algebras》. Lectures in Mathematics. ETH Zürich (영어). Basel: Birkhäuser. doi:10.1007/978-3-0348-6381-0. ISBN 978-3-7643-2495-7. MR 1077622. Zbl 0706.06009. 
  7. Brown, Ronald (2006). 《Topology and groupoids. A geometric account of general topology, homotopy types and the fundamental groupoid》 (영어) 3차 개정 증보판. ISBN 1-4196-2722-8. Zbl 1093.55001. 

외부 링크