계차수열

수학에서, 수열의 계차수열(階差數列)은 그 수열의 인접하는 두 항의 차로 이루어지는 수열이다. 예를 들어 수열

1, 4, 9, 16, ... , n², ...

의 계차수열은

3, 5, 7, ... , 2n + 1, ...

과 같다. 수열 a_n}의 계차수열의 일반항은 a_n+1 - a_n이다.

정의

수열 a_n}의 계차수열은 다음과 같은 수열 Δa_n}이다.

$\Delta a_{n}=a_{n+1}-a_{n}$

또, Δa_n}의 계차수열

$\Delta \Delta a_{n}=\Delta a_{n+1}-\Delta a_{n}=a_{n+2}-2a_{n+1}+a_{n}$

을 제 2계차수열이라고 하고, Δ²a_n}으로 표기한다.

임의의 자연수 k에 대하여 제 k계차수열(kth difference) Δ^ka_n}은 다음과 같이 정의된다.

$\Delta ^{k}a_{n}=\underbrace {\Delta \Delta \cdots \Delta } _{k}a_{n}$

또는 (점화식을 써서)

$\Delta ^{0}a_{n}=a_{n}$

$\Delta ^{k+1}a_{n}=\Delta \Delta ^{k}a_{n}=\Delta ^{k}a_{n+1}-\Delta ^{k}a_{n}$

위에서 알 수 있듯이, a_n의 영계 차수열은 자기 자신, 일계 차수열은 Δa_n이다.

예

• 수열 1, 3, 5, 7, ...과 2, 4, 6, 8, ...의 계차수열은 모두 2, 2, 2, 2, ...이다.
• 수열 1, 1/2, 1/3, 1/4, ...의 계차수열은 1/1 × 2, 1/2 × 3, 1/3 × 4, ...이다.
• 수열 9, 99, 999, 9999, ...의 계차수열은 90, 900, 9000, ...이다. 이계 차수열은 810, 8100, ...이다.
• 피보나치 수열 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...의 계차수열은 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ..., 즉 0 하나를 앞에 붙인 것과 같다.
• 등차수열 a_n = pn + q의 계차수열은 상수열 Δa_n = p이다. 특별히, 상수열 a_n = c의 계차수열은 영수열 Δa_n = 0이다.
• 조화수열 a_n = 1/pn + q의 계차수열은 Δa_n = p/(pn + q)(pn + p + q)이다.
• 주어진 수열 a_n의 합 S_n = a₁ + … + a_n의 계차수열은 a₂, a₃, a₄, ...이다.
• 3차 다항식인 n³의 1, 2, 3계 차수열은 각각 3n² + 3n + 1, 6n + 6, 6이며, 이들은 각각 2차, 1차, 0차 다항식이다.

성질

• 임의의 수열 a_n}은 초항과 일계 차수열 Δa_n}에 의해 유일하게 결정된다.

  $a_{n}=a_{1}+\Delta a_{1}+\Delta a_{2}+\cdots +\Delta a_{n-1}=a_{1}+\sum _{k=1}^{n-1}\Delta a_{k}$

다만, 홀수열 1, 3, ...과 짝수열 2, 4, ...처럼, 일계 차수열이 같더라도, 수열의 초항이 다르면 다른 수열이 된다.

• 더 나아가, 수열은 모든 계수(0, 1, 2, ...)의 계차수열의 초항에 의해 다음과 같이 유일하게 결정된다.

  $a_{n}=a_{1}+(n-1)\Delta a_{1}+{\frac {(n-1)(n-2)}{2}}\Delta ^{2}a_{1}+\cdots +\Delta ^{n-1}a_{1}=\sum _{k=0}^{n-1}{n-1 \choose k}\Delta ^{k}a_{1}$

여기서 $\textstyle {n-1 \choose k}$는 (n - 1)개의 대상 중에서 k 개를 고른 조합수이다.

• k계 차수열의 일반항은 원래 수열의 항에 의해 다음과 같이 전개된다.

  $\Delta ^{k}a_{n}=a_{n+k}-ka_{n+k-1}+{\frac {k(k-1)}{2}}a_{n+k-2}+\cdots +(-1)^{k}a_{n}=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{k \choose i}a_{n+k-i}$

• 수열의 단조성은 계차수열을 이용해 기술할 수 있다. 수열 a_n}이 단조증가할 필요충분조건은 Δa_n ≥ 0이 모든 n에게 성립하는 것이다. 수열 a_n}이 단조감소할 필요충분조건은, Δa_n ≤ 0이 모든 n에게 성립하는 것이다.
• 아벨 변환
• 슈톨츠-체사로 정리

고계 등차수열

m계 등차수열(m ≥ 0)은 다음과 같이 귀납적으로 정의된다.

• 0이 아닌 상수의 수열은 0계 등차수열이다.
• 계차수열이 (k - 1)계 등차수열인 수열은 k계 등차수열이다.

위의 예시 문단에서, 수열 6, 6, ...}은 0계 등차수열이며, 그 수열을 계차수열로 하는 수열인 6n - 6}은 1계 등차수열이다. 마찬가지로 3n² + 3n + 1}은 2계 등차수열, n³}은 3계 등차수열이다.

어떤 수열 a_n}이 m계 등차수열일 필요충분조건은, 일반항이 n에 대한 m차 다항식이라는 것이다.

계차수열

계차수열

$\prod _{k=1}^{3}k=1\times 2\times 3=3!$

$\prod _{k=1}^{5}k=1\times 2\times 3\times 4\times 5=5!$

π에 대한식은 매우 많다. 여기에서는 그 일부를 소개한다.수식에 따라서는 그것 자체가π정의에 될 수도 있고,π노근사값계산 등에도 사용되어 왔다.

• $\pi =4\cdot \prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}+k}{k^{2}+k+{\frac {1}{4}}}}$

계차수열 $\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}+k}{k^{2}+k+{\frac {1}{4}}}}$=${\frac {\pi }{4}}$

k=	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	연속곱...	연속곱...∞
곱	${\frac {8}{9}}$	${\frac {24}{25}}$	${\frac {48}{49}}$	${\frac {80}{81}}$	${\frac {120}{121}}$	${\frac {168}{169}}$	${\frac {224}{225}}$	${\frac {288}{289}}$	${\frac {288}{289}}$	${\frac {360}{361}}$	${\frac {8}{9}}$$\times$${\frac {24}{25}}$$\times$${\frac {48}{49}}$$\times$${\frac {80}{81}}$$\times$${\frac {120}{121}}$$\times$${\frac {168}{169}}$$\times$${\frac {224}{225}}$$\times$${\frac {288}{289}}$$\times$...	${\frac {\pi }{4}}$

• $\pi ={\frac {9}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}+k}{k^{2}+k+{\frac {2}{9}}}}$

계차수열 $\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}+k}{k^{2}+k+{\frac {3}{16}}}}={\frac {3\pi }{8{\sqrt {2}}}}$

k=	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	연속곱...	연속곱...∞
곱	${\frac {9}{10}}$	${\frac {27}{28}}$	${\frac {54}{55}}$	${\frac {90}{91}}$	${\frac {135}{136}}$	${\frac {189}{190}}$	${\frac {252}{253}}$	${\frac {324}{325}}$	${\frac {405}{406}}$	${\frac {495}{496}}$	${\frac {9}{10}}$$\times$${\frac {27}{28}}$$\times$${\frac {54}{55}}$$\times$${\frac {90}{91}}$$\times$${\frac {135}{136}}$$\times$${\frac {189}{190}}$$\times$${\frac {252}{253}}$$\times$${\frac {324}{325}}$$\times$...	${\frac {3\pi }{8{\sqrt {2}}}}$

• $\pi ={\frac {16}{3}}\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}+k}{k^{2}+k+{\frac {3}{16}}}}$

계차수열 $\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}+k}{k^{2}+k+{\frac {2}{9}}}}={\frac {4\pi }{9{\sqrt {3}}}}$

k=	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	연속곱...	연속곱...∞
곱	${\frac {32}{35}}$	${\frac {32}{33}}$	${\frac {64}{65}}$	${\frac {320}{323}}$	${\frac {160}{161}}$	${\frac {224}{225}}$	${\frac {896}{899}}$	${\frac {384}{385}}$	${\frac {480}{481}}$	${\frac {1760}{1763}}$	${\frac {32}{35}}$$\times$${\frac {32}{33}}$$\times$${\frac {64}{65}}$$\times$${\frac {320}{323}}$$\times$${\frac {160}{161}}$$\times$${\frac {224}{225}}$$\times$${\frac {896}{899}}$$\times$${\frac {384}{385}}$$\times$...	${\frac {4\pi }{9{\sqrt {3}}}}$

• $\pi =3\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-\left({\frac {1}{3}}\right)^{2}}}$

계차수열 $\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-({\frac {1}{3}})^{2}}}={\frac {2\pi }{3{\sqrt {3}}}}$

k=	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	연속곱...	연속곱...∞
곱	${\frac {9}{8}}$	${\frac {36}{35}}$	${\frac {81}{80}}$	${\frac {144}{143}}$	${\frac {225}{224}}$	${\frac {324}{323}}$	${\frac {441}{440}}$	${\frac {576}{575}}$	${\frac {729}{728}}$	${\frac {900}{899}}$	${\frac {9}{8}}$$\times$${\frac {36}{35}}$$\times$${\frac {81}{80}}$$\times$${\frac {144}{143}}$$\times$${\frac {225}{224}}$$\times$${\frac {324}{323}}$$\times$${\frac {441}{440}}$$\times$${\frac {576}{575}}$$\times$...	${\frac {2\pi }{3{\sqrt {3}}}}$

• $\pi =4\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-\left({\frac {1}{4}}\right)^{2}}}$

계차수열 $\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-({\frac {1}{4}})^{2}}}={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}$

k=	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	연속곱...	연속곱...∞
곱	${\frac {16}{15}}$	${\frac {64}{63}}$	${\frac {144}{143}}$	${\frac {256}{255}}$	${\frac {400}{399}}$	${\frac {576}{575}}$	${\frac {784}{783}}$	${\frac {1024}{1023}}$	${\frac {1296}{1295}}$	${\frac {1600}{1599}}$	${\frac {16}{15}}$$\times$${\frac {64}{63}}$$\times$${\frac {144}{143}}$$\times$${\frac {256}{255}}$$\times$${\frac {400}{399}}$$\times$${\frac {576}{575}}$$\times$${\frac {784}{783}}$$\times$${\frac {1024}{1023}}$$\times$...	${\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}$

• $\pi =6\cdot {\frac {1}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-\left({\frac {1}{6}}\right)^{2}}}$

계차수열 $\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-({\frac {1}{6}})^{2}}}={\frac {\pi }{3}}$

k=	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	연속곱...	연속곱...∞
곱	${\frac {36}{35}}$	${\frac {144}{143}}$	${\frac {324}{323}}$	${\frac {576}{575}}$	${\frac {900}{899}}$	${\frac {1296}{1295}}$	${\frac {1764}{1763}}$	${\frac {2304}{2303}}$	${\frac {2916}{2915}}$	${\frac {3600}{3599}}$	${\frac {36}{35}}$$\times$${\frac {144}{143}}$$\times$${\frac {324}{323}}$$\times$${\frac {576}{575}}$$\times$${\frac {900}{899}}$$\times$${\frac {1296}{1295}}$$\times$${\frac {1764}{1763}}$$\times$...	${\frac {\pi }{3}}$

• $\pi ={\frac {3}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}}}$

계차수열 $\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-({\frac {2}{3}})^{2}}}={\frac {4\pi }{3{\sqrt {3}}}}$

k=	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	연속곱...	연속곱...∞
곱	${\frac {9}{5}}$	${\frac {9}{8}}$	${\frac {81}{77}}$	${\frac {36}{35}}$	${\frac {255}{221}}$	${\frac {81}{80}}$	${\frac {441}{437}}$	${\frac {144}{143}}$	${\frac {729}{725}}$	${\frac {225}{224}}$	${\frac {9}{5}}$$\times$${\frac {9}{8}}$$\times$${\frac {81}{77}}$$\times$${\frac {36}{35}}$$\times$${\frac {255}{221}}$$\times$${\frac {81}{80}}$$\times$${\frac {441}{437}}$$\times$${\frac {144}{143}}$$\times$...	${\frac {4\pi }{3{\sqrt {3}}}}$

• $\pi ={\frac {4}{3}}\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}}}$

계차수열 $\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-({\frac {3}{4}})^{2}}}={\frac {3\pi }{2{\sqrt {2}}}}$

k=	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	연속곱...	연속곱...∞
곱	${\frac {16}{7}}$	${\frac {64}{55}}$	${\frac {16}{15}}$	${\frac {256}{247}}$	${\frac {400}{391}}$	${\frac {64}{63}}$	${\frac {784}{775}}$	${\frac {1024}{1015}}$	${\frac {144}{143}}$	${\frac {1600}{1591}}$	${\frac {16}{7}}$$\times$${\frac {64}{55}}$$\times$${\frac {16}{15}}$$\times$${\frac {256}{247}}$$\times$${\frac {400}{391}}$$\times$${\frac {64}{63}}$$\times$${\frac {784}{775}}$$\times$${\frac {1024}{1015}}$$\times$...	${\frac {3\pi }{2{\sqrt {2}}}}$

• $\pi ={\frac {6}{5}}\cdot {\frac {1}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-\left({\frac {5}{6}}\right)^{2}}}$

계차수열 $\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-({\frac {5}{6}})^{2}}}={\frac {5\pi }{3}}$

k=	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	연속곱...	연속곱...∞
곱	${\frac {36}{11}}$	${\frac {144}{119}}$	${\frac {324}{299}}$	${\frac {576}{551}}$	${\frac {36}{35}}$	${\frac {1296}{1271}}$	${\frac {1764}{1739}}$	${\frac {2304}{2279}}$	${\frac {2916}{2891}}$	${\frac {144}{143}}$	${\frac {36}{11}}$$\times$${\frac {144}{119}}$$\times$${\frac {324}{299}}$$\times$${\frac {576}{551}}$$\times$${\frac {36}{35}}$$\times$${\frac {1296}{1271}}$$\times$${\frac {1764}{1739}}$$\times$${\frac {2304}{2279}}$$\times$...	${\frac {5\pi }{3}}$

같이 보기

• 점화식
• 계차
• 수열