해밀토니언 (양자역학)

양자역학에서, 해밀토니언(Hamiltonian, ${\hat {H}}$ 또는 $H$로 표기)은 양자 상태의 시간 변화를 생성하는 에르미트 연산자이다. 이는 고전 해밀턴 역학에서 해밀토니언을 양자화하여 얻을 수 있고, 고전적인 에너지를 나타낸다.

해밀토니언과 역학적 에너지

만약 퍼텐셜 U가 시간의 함수가 아니고

$U=U(q_{i})$

${\partial U \over \partial t}=0$

주어진 일반화 좌표가 관성계여서 운동에너지가 ${\dot {q}}_{i}$의 이차 형식, 즉 제곱으로 나타낼 때,

$T=\sum _{i}c_{i}{\dot {q}}_{i}^{2}$

(여기서 c_i는 임의의 상수) 아래의 관계식이 만족되어

$\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}=\sum _{i}{\dot {q}}_{i}{\partial L \over \partial {\dot {q}}_{i}}=\sum _{i}{\dot {q}}_{i}{\partial T \over \partial {\dot {q}}_{i}}=\sum _{i}2c_{i}{\dot {q}}_{i}^{2}=2T$

이를 해밀토니언에 대입하면

$H=T(q_{i},\;{\dot {q}}_{i})+V(q_{i})$

이 된다. 이러한 경우, 해밀토니언 H를 역학적 에너지 E라 정의한다.

해밀토니언에 대한 시간의 전미분은 다음과 같다.

${dH \over dt}={\partial H \over \partial t}+\sum _{i}{\partial H \over \partial q_{i}}{\dot {q}}_{i}+\sum _{i}{\partial H \over \partial p_{i}}{\dot {p}}_{i}$

그런데 여기에 해밀턴 방정식 $\partial H/\partial q_{i}=-{\dot {p}}_{i}$, $\partial H/\partial p_{i}={\dot {q}}_{i}$ 을 대입하면 다음의 관계가 성립함을 알 수 있다.

${dH \over dt}={\partial H \over \partial t}$

따라서 해밀토니언이 직접적인 시간의 함수가 아니라면

${dH \over dt}=0$

이 되어 해밀토니언이 운동 상수가 됨을 알 수 있다. 이런 해밀토니언을 갖는 계를 역학적 에너지가 보존되는 계라 하여 보존계(conservative system)라 한다.

양자역학에서 해밀토니언

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같이 보기

• 해밀턴 역학