계차수열: 두 판 사이의 차이

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2016년 3월 26일 (토) 21:01 판

수학에서, 수열의 계차수열(階差數列)은 그 수열의 인접하는 두 항의 차로 이루어지는 수열이다. 예를 들어 수열

1, 4, 9, 16, ... , n 2, ...

의 계차수열은

3, 5, 7, ... , 2 n + 1, ...

과 같다. 수열 ${a n}$ 의 계차수열의 일반항은 $a n +1 - a n$ 이다.

계차수열은 등차수열, 나아가 고계등차수열을 정의하는 데에 쓸 수 있다.

정의

수열 ${a n}$ 의 계차수열은 다음과 같은 수열 ${Δ a n}$ 이다.^[1]

\Delta a_{n}=a_{n+1}-a_{n}

또, ${Δ a n}$ 의 계차수열

\Delta \Delta a_{n}=\Delta a_{n+1}-\Delta a_{n}=a_{n+2}-2a_{n+1}+a_{n}

을 이계차수열이라고 하고, ${Δ 2 a n}$ 으로 표기한다.

임의의 자연수 $k$ 에 대하여 $k$ 계차수열 ${Δ k a n}$ 은 다음과 같이 정의된다.

\Delta ^{k}a_{n}=\underbrace {\Delta \Delta \cdots \Delta } _{k}a_{n}

또는 (점화식을 써서)^[1]

\Delta ^{0}a_{n}=a_{n};

\Delta ^{k+1}a_{n}=\Delta \Delta ^{k}a_{n}=\Delta ^{k}a_{n+1}-\Delta ^{k}a_{n}

위에서 알 수 있듯이, $a n$ 의 영계차수열은 자기 자신, 일계차수열은 $Δ a n$ 이다.

예

수열 $1, 3, 5, 7, ...$ 과 $2, 4, 6, 8, ...$ 의 계차수열은 모두 $2, 2, 2, 2, ...$ 이다.
수열 $1, 1 / 2, 1 / 3, 1 / 4, ...$ 의 계차수열은 $1 / 1 \times 2, 1 / 2 \times 3, 1 / 3 \times 4, ...$ 이다.
수열 $9, 99, 999, 9999, ...$ 의 계차수열은 $90, 900, 9000, ...$ 이다. 이계차수열은 $810, 8100, ...$ 이다.
피보나치 수열 $1, 1, 2, 3, 5, 8, ...$ 의 계차수열은 $0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...$ , 즉 0 하나를 앞에 붙인 것과 같다.
등차수열 $a n = pn + q$ 의 계차수열은 상수열 $Δ a n = p$ 이다. 특별히, 상수열 $a n = c$ 의 계차수열은 영수열 $Δ a n = 0$ 이다.
조화수열 $a n = 1 / pn + q$ 의 계차수열은 $Δ a n = p / (pn + q)(pn + p + q)$ 이다.
주어진 수열 $a n$ 의 합 $S n = a 1 + \dots + a n$ 의 계차수열은 $a 2, a 3, a 4, ...$ 이다.

성질

임의의 수열 ${a n}$ 은 초항과 일계차수열 ${Δ a n}$ 에 의해 유일하게 결정된다.
$a_{n}=a_{1}+\Delta a_{1}+\Delta a_{2}+\cdots +\Delta a_{n-1}=a_{1}+\sum _{k=1}^{n-1}\Delta a_{k}$
다만, 홀수열 $1, 3, ...$ 과 짝수열 $2, 4, ...$ 처럼, 일계차수열이 같더라도, 수열의 초항이 다르면 다른 수열이 된다.
더 나아가, 수열은 모든 계수(0, 1, 2, ...)의 계차수열의 초항에 의해 다음과 같이 유일하게 결정된다.^[1]
$a_{n}={n-1 \choose 0}a_{1}+{n-1 \choose 1}\Delta a_{1}+{n-1 \choose 2}\Delta ^{2}a_{1}+\cdots +{n-1 \choose n-1}\Delta ^{n-1}a_{1}=\sum _{k=0}^{n-1}{n-1 \choose k}\Delta ^{k}a_{1}$

여기서

\textstyle {n-1 \choose k}

는

n - 1

의 대상 중에서

k

개를 고른 조합수이다.

수열의 단조성은 계차수열을 이용해 기술할 수 있다. 수열 ${a n}$ 이 단조증가할 필요충분조건은 $Δ a n \geq 0$ 이 모든 $n$ 에게 성립하는 것이다. 수열 ${a n}$ 이 단조감소할 필요충분조건은, $Δ a n \leq 0$ 이 모든 $n$ 에게 성립하는 것이다.
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고계등차수열

$k$ 계등차수열은, $x$ 계차수열이 상수열이 되게 하는 가장 작은 자연수 $x$ 가 $k$ 인 수열을 말한다. 공차가 0이 아닌 등차수열은 일계등차수열이다. 상수열은 0계차수열(자기 자신)이 상수열이기에 0계등차수열이다.

어떤 수열 ${a n}$ 이 $k$ 계등차수열일 필요충분조건은, 일반항이 $n$ 에 대한 $k$ 차 다항식이라는 것이다.^[1]

각주

↑ ^가 ^나 ^다 ^라 吴强 (2008). 张飞羽, 편집. “阶差数列的几个性质及其应用” [계차수열의 몇가지 성질과 그 응용]. 《河西学院学报》. 24 (중국어) (2): 6–9.

[WQ-1] 가 ^나 ^다 ^라 吴强 (2008). 张飞羽, 편집. “阶差数列的几个性质及其应用” [계차수열의 몇가지 성질과 그 응용]. 《河西学院学报》. 24 (중국어) (2): 6–9.

[1]

@@ 18번째 줄: / 18번째 줄: @@
 또, {{수학|{Δ''a<sub>n</sub>''<nowiki>}</nowiki>}}의 계차수열
-:<math>\Delta\, \Delta a_n = \Delta a_{n+1} - \Delta a_n = a_{n+2} - 2a_{n+1} + a_n</math>
+:<math>\Delta \Delta a_n = \Delta a_{n+1} - \Delta a_n = a_{n+2} - 2a_{n+1} + a_n</math>
 을 '''이계차수열'''이라고 하고, {{수학|{Δ<sup>2</sup>''a<sub>n</sub>''<nowiki>}</nowiki>}}으로 표기한다.
@@ 24번째 줄: / 24번째 줄: @@
 임의의 자연수 {{수학|''k''}}에 대하여 '''{{수학|''k''}}계차수열''' {{수학|{Δ''<sup>k</sup>a<sub>n</sub>''<nowiki>}</nowiki>}}은 다음과 같이 정의된다.
-:<math>\Delta^k a_n = \underbrace{\Delta\, \Delta\, \cdots\, \Delta}_k a_n</math>
+:<math>\Delta^k a_n = \underbrace{\Delta \Delta \cdots \Delta}_k a_n</math>
 또는 ([[점화식]]을 써서)<ref name="WQ" />
@@ 30번째 줄: / 30번째 줄: @@
 :<math>\Delta^0 a_n = a_n ;</math>
-:<math>\Delta^{k+1} a_n = \Delta\, \Delta^k a_n = \Delta^k a_{n+1} - \Delta^k a_n</math>
+:<math>\Delta^{k+1} a_n = \Delta \Delta^k a_n = \Delta^k a_{n+1} - \Delta^k a_n</math>
 위에서 알 수 있듯이, {{수학|''a<sub>n</sub>''}}의 영계차수열은 자기 자신, 일계차수열은 {{수학|Δ''a<sub>n</sub>''}}이다.
@@ 50번째 줄: / 50번째 줄: @@
 *:<math>a_n={n-1\choose 0}a_1+{n-1\choose 1}\Delta a_1+{n-1\choose 2}\Delta^2 a_1+\cdots+{n-1\choose n-1}\Delta^{n-1}a_1=\sum_{k=0}^{n-1}{n-1\choose k}\Delta^k a_1</math>
 : 여기서 <math>\textstyle{n-1\choose k}</math>는 {{수학|''n'' - 1}}의 대상 중에서 {{수학|''k''}} 개를 고른 [[조합수]]이다.
-* [[단조수열|수열의 단조성]]은 계차수열을 이용해 기술할 수 있다. 수열 {{수학|{''a<sub>n</sub>''<nowiki>}</nowiki>}}이 [[단조증가]]할 [[필요충분조건]]은 {{수학|Δ ''a<sub>n</sub>'' ≥ 0}}이 모든 {{수학|''n''}}에게 성립하는 것이다. 수열 {{수학|{''a<sub>n</sub>''<nowiki>}</nowiki>}}이 [[단조감소]]할 필요충분조건은, {{수학|Δ ''a<sub>n</sub>'' ≤ 0}}이 모든 {{수학|''n''}}에게 성립하는 것이다.
+* [[단조수열|수열의 단조성]]은 계차수열을 이용해 기술할 수 있다. 수열 {{수학|{''a<sub>n</sub>''<nowiki>}</nowiki>}}이 [[단조증가]]할 [[필요충분조건]]은 {{수학|Δ''a<sub>n</sub>'' ≥ 0}}이 모든 {{수학|''n''}}에게 성립하는 것이다. 수열 {{수학|{''a<sub>n</sub>''<nowiki>}</nowiki>}}이 [[단조감소]]할 필요충분조건은, {{수학|Δ''a<sub>n</sub>'' ≤ 0}}이 모든 {{수학|''n''}}에게 성립하는 것이다.
 * [[아벨 변환]]
 * [[슈톨츠-체사로 정리]]