근 (수학)

이 문서는 주어진 식을 만족하는 수에 관한 것입니다. 리 대수의 근에 대해서는 근계 문서를 참고하십시오.

어떤 함수 $f(x)$의 근(根) 또는 해(解)는 $f(x)=0$을 만족하는 정의역의 원소 $x$들의 집합이다. 예를 들어 $f(x)=x^{2}-6x+9$라는 함수가 있을 때, $f(3)=0$이므로 3은 이 함수의 근이다.

함수의 정의역과 공역이 실수일 경우, 이러한 근들은 x축과 그래프가 만나는 점이 된다. 따라서 이를 x 절편이라 부르기도 한다.

모든 홀수차 실수 계수 다항식들은 실수만을 근으로 가진다. 짝수차 다항식의 경우 모든 근이 실수인 것은 아니지만, 대수학의 기본 정리에 따르면 모든 n차 다항식은 중근을 포함해서 n개의 복소수 근을 가진다. 실수 계수 다항식의 근이 실수가 아닌 경우 그 켤레복소수 또한 그 다항식의 근이다.

1차부터 4차까지의 다항식은 사칙 연산과 제곱근만 쓰는 일반화된 식으로 근을 표현할 수 있는데, 이를 근의 공식이라 하며 특히 이차 방정식의 $\textstyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$가 대표적이다. 5차 이상의 다항식은 아벨-루피니 정리에 의해 일반적인 근의 공식이 존재하지 않음이 알려져 있다.