쿠런트 준대수

미분기하학에서 쿠런트 준대수(Courant準代數, 영어: Courant algebroid)는 리 준대수와 이차 리 대수의 개념의 공통적인 일반화이다.

정의

반대칭이 아닌 괄호를 통한 정의

쿠런트 준대수는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 매끄러운 다양체 $M$
• 매끄러운 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow M$
• 벡터 다발 사상 $\rho \colon E\to \mathrm {T} M$, $s\mapsto \rho _{s}$. 이를 닻(영어: anchor)이라고 한다. 이를 ${\mathcal {C}}^{\infty }(M)$ 위의 1차 미분 연산자로 간주하자.
• $E$ 위의 올별 비퇴화 대칭 쌍선형 형식 $\langle -,-\rangle \colon E\otimes E\to \mathbb {R} \times M$
• 단면 위의 쌍선형 형식 $\delta \colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(\operatorname {End} (E))$, $\phi \mapsto \delta _{\phi }$.

이는 다음 공리들을 만족시켜야 한다.

• $[\delta _{s},\delta _{t}]=\delta _{\delta _{s}t}$
• $\delta _{s}(ft)=(\rho _{s}f)t+f\delta _{s}t$
• $[\rho _{s},\rho _{t}]=\rho _{\delta _{s}t}$
• $\rho _{s}\langle t,u\rangle =\langle \delta _{s}t,u\rangle +\langle t,\delta _{s}u\rangle =\langle s,\delta _{t}u+\delta _{u}t\rangle$

반대칭인 괄호를 통한 정의

쿠런트 준대수는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 매끄러운 다양체 $M$
• 매끄러운 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow M$
• 1차 미분 연산 $D\colon {\mathcal {C}}^{\infty }(M)\to \Gamma ^{\infty }(E)$
• $E$ 위의 올별 비퇴화 대칭 쌍선형 형식 $\langle -,-\rangle \colon E\otimes E\to \mathbb {R} \times M$
• $E$ 위의 올별 반대칭 쌍선형 형식 $[-,-]\colon E\otimes E\to \mathbb {R} \times M$

이는 다음 공리들을 만족시켜야 한다.

• $\langle Df,[s,t]\rangle =\left\langle D\langle Df,t\rangle ,s\right\rangle -\left\langle D\langle Df,s\rangle ,t\right\rangle$
• $[s,ft]=f[s,t]+\langle Df,s\rangle t-{\frac {1}{2}}\langle s,t\rangle Df$
• $\langle Df,Dg\rangle =0$
• $\langle D\langle s,t\rangle ,u\rangle =\left\langle [u,s]+{\frac {1}{2}}D\langle u,s\rangle ,t\right\rangle +\left\langle s,[u,t]+{\frac {1}{2}}D\langle u,t\rangle \right\rangle$
• $[[s,t],u]+[[t,u],s]+[[u,s],t]={\frac {1}{6}}\left(\langle [s,t],u\rangle +\langle [t,u],s\rangle +\langle [u,s],t\rangle \right)$

이 두 정의는 서로 동치이며, 그 사이의 관계는 다음과 같다.

$[s,t]=\delta _{s}t-\delta _{t}s$

$\delta _{s}t=[s,t]+{\frac {1}{2}}D\langle s,t\rangle$

$\langle Df,s\rangle =\rho _{s}f$

디랙 구조

매끄러운 다양체 $M$ 위의 $2n$차원 쿠런트 준대수 $E\twoheadrightarrow M$ 위의 내적 $\langle -,-\rangle$의 부호수가 $(n,n)$이라고 하자. 그렇다면, $E$의 디랙 구조 $L\subseteq E$는 다음 조건을 만족시키는 부분 벡터 다발이다.

$\dim L=n$

$\langle s,t\rangle =0\qquad \forall s,t\in \Gamma ^{\infty }(L)$

$\delta _{s}t=[s,t]\in \Gamma ^{\infty }(L)\qquad \forall s,t\in \Gamma ^{\infty }(L)$

예

접다발과 쌍대접다발의 직합

매끄러운 다양체 $M$ 및 닫힌 3차 미분 형식

$H\in \Omega ^{3}(M)$

$\mathrm {d} H=0$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

$E=\mathrm {T} M\oplus \mathrm {T} ^{*}M$

위에

$\delta _{X+\xi }(Y+\eta )=[X,Y]+({\mathcal {L}}_{X}\,\eta -Y\lrcorner \mathrm {d} \xi +X\lrcorner Y\lrcorner H)$

와 같은 괄호를 주자. 여기서

• ${\mathcal {L}}$은 벡터장 또는 1차 미분 형식의 리 미분이다.
• $\lrcorner$는 벡터장과 미분 형식의 내부곱이다.

그렇다면, $(M,E)$는 쿠런트 준대수의 구조를 이룬다. 여기서

• $\rho \colon \mathrm {T} M\oplus \mathrm {T} ^{*}M\to \mathrm {T} M$은 사영 사상이다.
• $D\colon {\mathcal {C}}^{\infty }(M)\to \mathrm {T} M\oplus \mathrm {T} ^{*}M$은 단순히 $f\mapsto 0+\mathrm {d} f$이다.

이차 리 대수

한원소 공간 위의 쿠런트 준대수의 개념은 이차 리 대수의 개념과 동치이다.

역사

류장쥐(중국어 간체자: 刘张炬, 정체자: 劉張炬, 병음: Liú Zhāngjù, 한자음: 유장거) · 앨런 와인스틴(영어: Alan Weinstein) · 쉬핑(중국어: 徐平, 병음: Xú Píng, 한자음: 서평)이 1997년에 도입하였다. 이 개념의 이름은 미국의 수학자 시어도어 제임스 쿠런트(영어: Theodore James Courant)의 이름을 땄다.

외부 링크

• “Courant algebroid”. 《nLab》 (영어). 
• “Standard Courant algebroid”. 《nLab》 (영어). 
• “Courant sigma-model”. 《nLab》 (영어).