카우프먼 다항식

매듭 이론에서 카우프먼 다항식(Kauffman多項式, 영어: Kauffman polynomial)은 연환에 대하여 정의되는 다항식 불변량이다.

정의

매듭 그림의 뒤틀림

유향 연환 그림 $D$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그림의 각 교차점을 다음과 같이 두 가지로 분류할 수 있다.

⤱	⤲
양의 교차점	음의 교차점

유향 연환 그림의 방향을 바꾸면, 양의 교차점은 그대로 양의 교차점으로 남으며, 음의 교차점도 마찬가지다. 따라서, (무향) 연환 그림의 양의 교차점의 수와 음의 교차점의 수롤 정의할 수 있다.

연환 그림의 양의 교차점의 수 − 음의 교차점의 수를 연환 그림의 뒤틀림(영어: writhe 리드^[*])라고 하며,

$\operatorname {wr} (D)\in \mathbb {Z}$

로 표기한다.

카우프먼 다항식

(무향) 연환 그림 $D$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 세 조건으로 주어지는 다항식을 생각하자.

• (A) 자명한 매듭 그림 $\bigcirc$의 경우, $L_{\bigcirc }(a,z)=1$
• (B) 타래 관계(영어: skein relation)

⤫	⤬	≍	𐠷
$D_{+}$	$D_{-}$	$D_{0}$	$D_{\infty }$

$L_{D_{+}}(a,z)-L_{D_{-}}(a,z)=z(L_{D_{0}}(a,z)-L_{D_{\infty }}(a,z))$

• (C) Ⅰ종 라이데마이스터 변형

  

  $D_{+}\leftrightarrow D_{0}\leftrightarrow D_{-}$

  $a^{\pm 1}L_{D_{0}}(a,z)=L_{D_{\pm }}(a,z)$

이는 연환 그림 $D$에 대하여 로랑 다항식

$L_{D}(a,z)\in \mathbb {Z} [z,z^{-1}]$

를 정의한다. 이는 Ⅱ종 및 Ⅲ종 라이데마이스터 변형에 대하여 불변이지만, Ⅰ종 라이데마이스터 변형에 대하여 불변이지 않다.

이제, 연환 $L$의 임의의 그림 $D$를 골랐을 때, $L$의 카우프먼 다항식은 다음과 같다.

$F_{L}(a,z)=a^{-\operatorname {wr} (D)}L_{D}(a,z)$

이는 연환의 불변량임을 보일 수 있다.

(일부 문헌에서는 위와 약간 다른 타래 관계를 사용하나, 이들은 다 서로 동치이다.)

성질

홈플리 다항식이 특수 유니터리 군 천-사이먼스 이론에 대응되는 것처럼, 카우프먼 다항식은 특수 직교군 및 심플렉틱 군 천-사이먼스 이론에 대응된다.

준위 $k\in \mathbb {Z}$의 $\operatorname {SO} (N)$ 천-사이먼스 이론을 생각하자. 이제,

$z=\exp(-\pi \mathrm {i} /2k)$

$a=z^{N-1}$

를 정의하자. 그렇다면, 윌슨 고리 $L$ 연산자의 기댓값은 (복소수 위상을 무시하면) 카우프만 다항식과 같다.

$\langle W(L)\rangle =\exp(\mathrm {i} \theta )\cdot F_{L}(a,z)$

$\operatorname {USp} (2N)$ 천-사이먼스 이론의 경우도 마찬가지로 카우프먼 다항식을 정의한다.

역사

카우프먼 (2014년 10월 31일 사진)

루이스 허시 카우프먼(영어: Louis Hirsch Kauffman, 1945~)이 1990년에 도입하였다.

외부 링크

• “Kauffman polynomial”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Kauffman polynomial F”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Bracket polynomial”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Kauffman polynomial X”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 

• “The Kauffman polynomial”. 《The Knot Atlas》 (영어).