절대 연속 측도

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측도론에서, 절대 연속 측도(絶對連續測度, 영어: absolutely continuous measure)는 어떤 주어진 측도에 일종의 ‘무게’를 주어 얻을 수 있는 측도이다. 이에 따라, 원래 측도의 값이 0이면, 이에 대한 절대 연속 측도의 값 역시 0이어야 한다. 이 경우, 이 ‘무게’는 라돈-니코딤 도함수(Radon-Nikodym導函數, 영어: Radon–Nikodym derivative)라고 하며, 미적분학에서의 도함수의 개념의 일반화이다. 라돈-니코딤 도함수의 존재를 라돈-니코딤 정리(Radon-Nikodym定理, 영어: Radon–Nikodym theorem)라고 한다. 이에 따라, 절대 연속성은 일종의 미적분학의 기본 정리가 성립할 필요 조건이다.

정의[편집]

시그마 대수 위의 두 측도 , 가 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건이 성립한다면, -절대 연속 측도라고 하며, 로 표기한다.[1]:122, §4.2[2]

즉, -영집합이 항상 -영집합이어야 한다. (대략, 이는 라돈-니코딤 도함수 에서, “분자”가 0이 아니라면 “분모” 역시 0이 아니어야 함으로 생각할 수 있다.)

부호 측도(영어: signed measure) 의 경우, 만약 -절대 연속 측도라면 역시 -절대 연속 측도라고 한다.[1]:125, §4.2

보통 는 (유클리드 공간의 경우) 르베그 측도[1]:122, §4.2 (위상군의 경우) 왼쪽 하르 측도를 사용한다.

성질[편집]

라돈-니코딤 정리[편집]

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 가측 공간
  • 시그마 유한 측도
  • 시그마 유한 측도 . 또한, 라고 하자.

라돈-니코딤 정리(영어: Radon–Nikodym theorem)[1]:123, Theorem 4.2.2[2]:115, Theorem 4.1.1(ii)에 따르면, 다음 조건을 만족시키는 가측 함수

가 존재한다.

(여기서 는 음이 아닌 실수의 보렐 시그마 대수이다.) 이 조건을 만족시키는 가측 함수라돈-니코딤 도함수라고 한다. 또한, 라돈-니코딤 도함수는 -거의 어디서나 유일하다. 즉, 위 데이터에 대한 두 라돈-니코딤 도함수 , 에 대하여, -영집합이다.

위 조건에 의하여, 임의의 -적분 가능 가측 함수 에 대하여, 다음이 추가로 성립한다.

라돈-니코딤 도함수의 성질[편집]

가측 공간 위의 세 시그마 유한 측도 가 주어졌으며,

라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

가측 공간 위의 세 시그마 유한 측도 가 주어졌으며,

일 경우, 다음이 성립한다.

특히, 만약 인 경우 (즉, ), 다음이 성립한다.

보다 일반적으로, 유한 복소측도

시그마 유한 측도

에 대하여, 만약

라면, 다음이 성립한다.

실수선 위의 절대 연속 측도[편집]

실수 닫힌구간 위에 정의된 증가 함수

가 주어졌다고 하자. 만약 임의의 양의 실수 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 양의 실수 가 존재한다면, 절대 연속 함수(絶對連續函數, 영어: absolutely continuous function)라고 한다.[2]:128, Definition 4.4.1

임의의 실수열 에 대하여, 만약 이라면, 이다.

이 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[2]:131, Theorem 4.4.3

절대 연속 함수는 항상 연속 함수이며, 거의 어디서나 도함수를 갖는다. 이 도함수는 의 라돈-니코딤 도함수에 의하여 주어진다. 또한, 정의에 따라 이는 르베그 적분 가능 함수이며, 그 적분은 와 일치한다 (미적분학의 기본 정리). 정의에 따라, 모든 립시츠 연속 함수는 절대 연속 함수이다.

[편집]

칸토어 함수

연속 함수이지만 절대 연속 함수가 아니다. 즉, 그 르베그-스틸티어스 측도는 절대 연속 측도가 아니다.

비(非) 시그마-유한 측도에 대한 라돈-니코딤 정리의 실패[편집]

라돈-니코딤 정리는 일반적으로 시그마 유한 측도가 아닌 절대 연속 측도에 대하여 성립하지 않는다. 예를 들어,[1]:125, Example 4.2.3[2]:117, Remark 4.1.1 보렐 시그마 대수를 부여한 닫힌구간 위의 셈측도

는 (르베그 측도에 대하여) 절대 연속 측도이다. 그러나 이는 라돈-니코딤 도함수를 갖지 않는다. 즉,

가 성립하는 가측 함수 가 존재하지 않는다.

역사[편집]

라돈-니코딤 정리의 경우, 1913년에 요한 라돈유클리드 공간의 경우에 대하여 증명하였으며,[3] 이를 오톤 마르친 니코딤이 1930년에 일반적인 가측 공간에 대하여 일반화하였다.[4]

응용[편집]

라돈-니코딤 정리는 확률론에서 단일한 공간에 대해 정의된 여러 개의 확률 측도를 연결할 때 매우 중요하게 쓰인다. 가령, 라돈-니코딤 정리는 조건부 기댓값의 존재성을 증명한다.

금융공학에서는 기르사노프 정리를 통해 실제 측도에서 위험중립측도를 도출해내는 데에 라돈-니코딤 정리가 쓰이기도 한다. 파생상품의 경우 대부분 위험중립측도가 존재해야만 적정 가격을 구할 수 있기 때문에 위험중립측도가 파생 상품 가격 결정에서 차지하는 중요성은 상당하다.

참고 문헌[편집]

  1. Cohn, Donald L. (2013). 《Measure theory》. Birkhäuser Advanced Texts Basler Lehrbücher (영어) 2판. Birkhäuser. doi:10.1007/978-1-4614-6956-8. ISSN 1019-6242. 
  2. Athreya, Krishna B.; Lahiri, Soumendra N. (2006). 《Measure theory and probability theory》. Springer Texts in Statistics (영어). Springer-Verlag. doi:10.1007/978-0-387-35434-7. ISBN 978-0-387-32903-1. 
  3. Radon, J. (1913년 7월). “Theorie und Anwendungen der absolut additiven Mengenfunktionen”. 《Akademie der Wissenschaften in Wien, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Klasse, Sitzungsberichte, Abteilung IIa: Mathematik, Astronomie, Physik, Meteorologie und Technik》 (독일어) 122: 1295–1438. JFM 44.0464.03. 
  4. Nikodym, O. (1930). “Sur une généralisation des intégrales de M. J. Radon” (PDF). 《Fundamenta Mathematicae》 (프랑스어) 15: 131–179. JFM 56.0922.01. 
  • Bradley, Richard C. (1989년 5월). “An elementary treatment of the Radon-Nikodym derivative”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 96 (5): 437–440. doi:10.2307/2325153. ISSN 0002-9890. JSTOR 2325153. 

바깥 고리[편집]