절대 연속 함수

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실해석학에서, 절대 연속 함수(絶對連續函數, 영어: absolutely continuous function)는 일반적인 연속성이나 균등연속보다 더 강한 조건을 만족시키는 함수이다. 미적분학의 기본정리가 성립할 필요조건이다.

정의[편집]

거리 공간이라고 하자. 구간 위에 정의된 함수 가 다음 조건을 만족시키면, 절대 연속 함수라고 한다.

모든 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 가 존재한다.
어떤 임의의 유한 부분개구간열 에 대하여, 그 길이들의 합이 미만이라면 (), 이다.

이 정의에서, 에 의존할 수 있지만 에는 의존할 수 없다.

성질[편집]

다음 세 조건들은 서로 동치이다.

  • 는 절대 연속 함수이다.
  • 거의 어디서나 도함수를 가지며, 도함수는 르베그 적분 가능하며, 모든 에 대하여
이다.
  • 다음 조건들을 만족하는 가 존재한다.
    • 르베그 적분 가능하다.
    • 모든 에 대하여, 이다.

[편집]

연속 함수이지만 절대 연속 함수가 아닌 함수의 예로는 다음을 들 수 있다.

  • 0을 포함하는 구간 위에 정의된 함수
  • 무한한 길이의 구간 위의

참고 문헌[편집]

  • Ambrosio, Luigi; Nicola Gigli, Giuseppe Savaré (2005). 《Gradient Flows in Metric Spaces and in the Space of Probability Measures》 (영어). Birkhäuser. ISBN 3-7643-2428-7. 
  • Athreya, Krishna B.; Soumendra N. Lahiri (2006). 《Measure theory and probability theory》 (영어). Springer. ISBN 0-387-32903-X. 
  • Nielsen, Ole A. (1997). 《An introduction to integration and measure theory》 (영어). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-59518-7. 
  • Royden, H.L. (1988). 《Real Analysis》 (영어) 3판. Collier Macmillan. ISBN 0-02-404151-3. 

바깥 고리[편집]