이등변 삼각형

이등변삼각형

기하학에서 이등변 삼각형(二等邊三角形, 영어: isosceles triangle)은 두 변의 길이가 같은 삼각형이다. 이 경우 길이가 같은 두 변이 마주보는 두 내각의 크기는 같다. 또한, 길이가 같은 두 변의 교점을 지나는 내각의 이등분선은 남은 한 변의 수직 이등분선과 일치한다. 길이가 같은 두 변이 마주보는 꼭짓점에서 두 변에 내린 수선과 중선, 내각의 이등분선의 길이는 세 변의 길이가 모두 같은 삼각형을 정삼각형이라고 한다. 과거 에우클레이데스의 정의에서는 이등변 삼각형을 정확히 두 변의 길이가 같은 삼각형으로 정의하여 정삼각형을 포함시키지 않았으나, 현대 기하학은 정삼각형을 이등변 삼각형의 특수한 경우로서 포함한다.

정의

삼각형의 두 변의 길이가 같다면, 이 삼각형을 이등변 삼각형이라고 한다. 이등변 삼각형의 길이가 같은 두 변을 등변(等邊, 영어: leg)이라고 하고, 남은 한 변을 밑변(-邊, 영어: base)이라고 한다. 두 등변 사이의 내각을 꼭지각(-角, 영어: vertex angle)이라고 부르며, 밑변과 등변 사이의 두 내각을 밑각(-角, 영어: base angle)이라고 부른다. 꼭지각이 예각·직각·둔각인 이등변 삼각형을 각각 예각 이등변 삼각형, 직각 이등변 삼각형, 둔각 이등변 삼각형이라고 한다. 세 변의 길이가 같은 삼각형을 정삼각형이라고 한다. 이는 예각 이등변 삼각형의 특수한 경우이다. 정삼각형에서는 임의의 변을 밑변으로 삼을 수 있다.

성질

밑변이 $BC$인 이등변 삼각형 $ABC$의 다음과 같은 직선들은 서로 일치한다.

• 꼭지각 $\angle A$의 이등분선
• 밑변 $BC$의 수직 이등분선
• 꼭짓점 $A$를 지나는 중선
• 꼭짓점 $A$에서 밑변 $BC$에 내린 수선

정삼각형이 아닐 경우 이 직선은 오일러 직선이다.

증명:

이등변 삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변의 수직 이등분선이다. 반대로 한 내각의 이등분선이 이 내각이 대하는 변의 수직 이등분선과 일치하는 삼각형은 이등변 삼각형이다.

각 $\angle A$의 이등분선 $AX$가 $BC$와 $X$에서 만난다고 하자. 그렇다면

$AB=AC$

$\angle BAX=\angle CAX={\frac {1}{2}}\angle BAC$

$AX=AX$

이므로, 삼각형 $ABX$와 $ACX$는 SAS 합동에 따라 합동이다. 특히, $BX=CX$이며, 또한

$\angle AXB=\angle AXC={\frac {1}{2}}\angle BXC={\frac {\pi }{2}}$

이다. 즉, $AX$는 변 $BC$의 수직 이등분선이며, 따라서 $AX$는 삼각형 $ABC$의 중선이자 변 $BC$의 수선이다.

삼각형 $ABC$의 밑변의 길이가 $BC=a$라고 하고 두 등변의 길이가 $b$라고 할 때, 이 직선의 삼각형 내부에 포함된 부분의 길이는

${\sqrt {a^{2}-{\frac {b^{2}}{4}}}}$

이다.^{:71, §2D}

밑각

삼각형 $ABC$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{:7, §1B; 10, Exercise 1B.1}

• $AB=AC$
• $\angle B=\angle C$

즉, 이등변 삼각형의 두 밑각의 크기는 같다. 이 명제를 당나귀의 다리라고 부르기도 한다. 반대로 크기가 같은 두 각의 대변의 길이는 같다.

증명:

증명 도해

우선 $AB=AC$가 성립한다고 가정하자. 각 $\angle A$의 이등분선 $AX$가 변 $BC$와 $X$에서 만난다고 하자. 그렇다면

$AB=AC$

$\angle BAX=\angle CAX={\frac {1}{2}}\angle BAC$

$AX=AX$

이므로, 삼각형 $ABX$와 $ACX$는 SAS 합동에 따라 합동이다. 특히, $\angle B=\angle C$가 성립한다.

이제 $\angle B=\angle C$가 성립한다고 가정하자. 각 $\angle A$의 이등분선 $AX$가 변 $BC$와 $X$에서 만난다고 하자. 그렇다면

$\angle B=\angle C$

$\angle BAX=\angle CAX={\frac {1}{2}}\angle BAC$

$AX=AX$

이므로, 삼각형 $ABX$와 $ACX$는 AAS 합동에 따라 합동이다. 특히, $AB=AC$가 성립한다.

증명:^{:10, §1B}

우선 $AB=AC$가 성립한다고 가정하자. 그렇다면

$AB=AC$

$\angle A=\angle A$

$AC=AB$

이므로, 삼각형 $ABC$와 $ACB$는 SAS 합동에 따라 서로 합동이다. 특히, $\angle B=\angle C$가 성립한다.

이제 $\angle B=\angle C$가 성립한다고 가정하자. 그렇다면

$\angle B=\angle C$

$BC=CB$

$\angle C=\angle B$

이므로, 삼각형 $ABC$와 $ACB$는 ASA 합동에 따라 서로 합동이다. 특히, $AB=AC$가 성립한다.

높이

삼각형 $ABC$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{:10, Exercise 1B.6, 1B.7; 20, §1E}

• $AB=AC$
• $B$를 지나는 $AC$의 수선 $BY$가 $AC$와 $Y$에서 만난다고 하고, 점 $C$를 지나는 $AB$의 수선 $CZ$가 $AB$와 $Z$에서 만난다고 할 때, $BY=CZ$이다.

즉, 이등변 삼각형의 두 밑각의 꼭짓점에서 대변에 내린 수선의 길이는 같다. 반대로 두 꼭짓점에서 대변에 내린 수선의 길이가 같다면 이 두 대변의 길이는 같다.

증명:

우선 $AB=AC$가 성립한다고 가정하자. 그렇다면

$\angle AYB=\angle AZC={\frac {\pi }{2}}$

$\angle A=\angle A$

$AB=AC$

이므로, 삼각형 $ABY$와 $ACZ$는 AAS 합동에 따라 서로 합동이다. 특히, $BY=CZ$가 성립한다.

이제 $BY=CZ$가 성립한다고 가정하자. 그렇다면

$\angle A=\angle A$

$\angle AYB=\angle AZC={\frac {\pi }{2}}$

$BY=CZ$

이므로, 삼각형 $ABY$와 $ACZ$는 AAS 합동에 따라 서로 합동이다. 특히, $AB=AC$가 성립한다.

중선

삼각형 $ABC$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{:10, Exercise 1B.4; 52, §2B, Problem 2.8}

• $AB=AC$
• 변 $AC$의 중점이 $Y$라고 하고, 변 $AB$의 중점이 $Z$라고 할 때, $BY=CZ$이다.

즉, 이등변 삼각형의 두 밑각의 꼭짓점을 지나는 중선의 길이는 같다. 반대로 두 꼭짓점을 지나는 중선의 길이가 같다면 두 대변의 길이는 같다.

증명:

우선 $AB=AC$가 성립한다고 가정하자. 그렇다면

$AB=AC$

$\angle A=\angle A$

$AY=AZ$

이므로, 삼각형 $ABY$와 $ACZ$는 SAS 합동에 따라 서로 합동이다. 특히, $BY=CZ$가 성립한다.

이제 $BY=CZ$가 성립한다고 가정하자. $BY$와 $CZ$의 교점이 $G$라고 하자. 그렇다면 $G$는 삼각형 $ABC$의 무게 중심이므로, $BG=2GY$이고 $CG=2GZ$이다. 따라서

$BG=CG$

$\angle BGZ=\angle CGY$

$GY=GZ$

이므로, 삼각형 $BGZ$와 $CGY$는 SAS 합동에 따라 서로 합동이다. 특히, $\angle GBZ=\angle GCY$이다. 따라서

$\angle A=\angle A$

$\angle ABY=\angle ACZ$

$BY=CZ$

이므로, 삼각형 $ABY$와 $ACZ$는 AAS 합동에 따라 서로 합동이다. 특히, $AB=AC$가 성립한다.

각의 이등분선

슈타이너-레무스 정리에 따르면, 삼각형 $ABC$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{:10, Exercise 1B.5; 70, §2D, Problem 2.21}

• $AB=AC$
• 각 $\angle B$의 이등분선 $BY$가 $AC$와 $Y$에서 만난다고 하고, 각 $\angle C$의 이등분선 $CZ$가 $AB$와 $Z$에서 만난다고 할 때, $BY=CZ$이다.

즉, 이등변 삼각형의 두 밑각의 이등분선의 길이는 같다. 반대로 두 내각의 이등분선의 길이가 같다면 두 대변의 길이는 같다.

증명:

각의 이등분선의 길이의 제곱은

$BY^{2}=AB\cdot BC\left(1-{\frac {AC^{2}}{(AB+BC)^{2}}}\right)$

$CZ^{2}=AC\cdot BC\left(1-{\frac {AB^{2}}{(AC+BC)^{2}}}\right)$

이다. 따라서 만약 $AB=AC$라면 $BY=CZ$이고, 만약 $AB>AC$라면 $BY>CZ$이고, 만약 $AB<AC$라면 $BY<CZ$이다.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Isosceles triangle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.