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샤르코우스키 정리

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동역학계 이론에서 샤르코우스키 정리(Шарковський 定理, 영어: Sharkovskii’s theorem)는 구간 위의 연속 사상이 가질 수 있는 주기점의 주기들의 집합을 분류하는 정리다. 이에 따르면, 가능한 주기들의 집합은 양의 정수들 위의 어떤 특정한 전순서의 꼬리이다.

정의[편집]

양의 정수의 집합 위에 다음과 같은 함수를 정의하자.

위에 사전식 순서를 줄 수 있다. 이 전순서를 통해 에 부여할 수 있는데, 이를 샤르코우스키 순서(Шарковський順序, 영어: Sharkovskii order)라고 한다. 즉, 이는 다음과 같다.

구간 위에 정의된 함수

주기점(영어: periodic point)은

가 존재하는 점이며, 이러한 최소의 양의 를 주기점의 최소 주기(영어: least period)라고 한다. 예를 들어, 고정점은 최소 주기가 1인 주기점과 같다.

샤르코우스키 정리에 따르면, 만약 연속 함수이며, 가 최소 주기가 인 주기점을 갖는다면, 모든 양의 정수 에 대하여 최소 주기가 의 주기점이 존재한다. 특히, 만약 최소 주기가 3인 주기점이 존재한다면, 모든 양의 정수에 대하여 해당 최소 주기를 갖는 주기점이 존재한다.

또한, 샤르코우스키 정리의 역도 성립한다. 즉, 임의의 에 대하여, 이 최소 주기들의 집합인 연속 함수 가 존재한다.

리-요크 정리[편집]

구간 위의 연속 함수 가 최소 주기 3의 주기점을 갖는다면, 샤르코우스키 정리에 따라 모든 최소 주기의 주기점들이 존재한다. 리-요크 정리([李]-Yorke定理, 영어: Li–Yorke theorem)[1]에 따르면, 최소 주기 3의 주기점이 존재한다면 다음 네 조건을 만족시키는 부분 집합 가 존재한다.

  • 는 주기점들을 포함하지 않는다.
  • 이다.
  • 임의의 에 대하여 (),
  • 임의의 및 주기점 에 대하여,

[편집]

로지스틱 사상의 경우, 인 경우 최소 주기가 3인 주기점이 존재한다.[2] 따라서, 이 경우 로지스틱 사상은 모든 가능한 최소 주기의 주기점이 존재한다. 그러나 이들은 (주기 3을 제외하면) 모두 불안정 주기점이며, 따라서 분기도에 나타나지 않는다.

샤르코우스키 정리는 고차원에서 성립하지 않으며, 또 구간이 아닌 다른 위상에서도 성립하지 않는다. 예를 들어, 원 위에서 의 경우 모든 점이 최소 주기 3의 주기점이지만, 다른 최소 주기의 주기점은 존재하지 않는다.

역사[편집]

샤르코우스키 정리는 올렉산드르 미콜라요비치 샤르코우스키(우크라이나어: Олекса́ндр Миколайович Шарко́вський, 러시아어: Алекса́ндр Никола́евич Шарко́вский 알렉산드르 니콜라예비치 샤르콥스키[*])가 1964년에 증명하였다.[3]

샤르코우스키의 업적은 서방 수학에서는 거의 알려지지 않고 있었다. 이후 1975년에 리톈옌(중국어: 李天岩, 병음: Lǐ Tiānyán, 한자음: 이천암, 영어: Tien-Yien Li)과 제임스 요크(영어: James A. Yorke)는 리-요크 정리를 통해 주기 3의 경우의 샤르코우스키 정리의 특수한 경우를 재증명하였다.[1] 리톈옌과 요크는 샤르코우스키의 논문에 대하여 몰랐으나, 이후 샤르코우스키의 업적이 혼돈 이론의 일부로 재조명되었다. 리톈엔과 요크의 1975년 논문은 또한 "혼돈"(영어: chaos 케이오스[*])이라는 용어가 전문 용어로 최초로 사용된 문헌이다.

참고 문헌[편집]

  1. Li, Tien-Yien; Yorke, James A. (1975년 12월). “Period three implies chaos”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 82 (10): 985–992. doi:10.2307/2318254. JSTOR 2318254. 
  2. Zhang, Cheng (2010년 10월). “Period three begins”. 《Mathematics Magazine》 (영어) 83: 295–297. 
  3. Шарковский, А. Н. (1964). “Сосуществование циклов непрерывного преобразования прямой в себя”. 《Украинский математический журнал》 (러시아어) 16 (1): 61-71. ISSN 0041-6053. 

외부 링크[편집]

같이 보기[편집]