로지스틱 사상

동역학계 이론에서 로지스틱 사상(영어: logistic map)은 간단한 2차 다항식으로 주어지는 이산 시간 동역학계이다. 이는 매개 변수의 값을 변화시키는 과정에서 주기가 2배가 되는 분기가 일어나는 주기배가 분기들의 열을 보이며, 이들은 파이겐바움 상수로 묘사되는 보편적인 성질을 보인다. 주기배가 분기들이 끝나는 값부터는 혼돈 현상이 나타난다.

정의[편집]

임의의 실수 매개 변수 $r\in \mathbb {R}$ 에 대하여, 로지스틱 사상은 다음과 같은 함수이다.

f\colon \mathbb {R} \mapsto \mathbb {R}

f\colon x\mapsto rx(1-x)

이는 다음과 같이 이산 시간 동역학계로 생각할 수 있다.

x_{n+1}=f(x_{n})

집단생체학적 해석[편집]

로지스틱 사상은 로지스틱 방정식을 이산화한 방정식이다. 이 경우, $x_{n}$ 은 $n$ 번째 세대의 개체 수 $N_{n}$ 와, 가능한 최대 개체 수 $N_{\max }$ 의 비

x_{n}=N_{n}/N_{\max }\in [0,1]

를 나타낸다. 로지스틱 사상에 따르면, $n+1$ 번째 세대의 인구는 $n$ 번째 세대의 인구의 함수이며, 다음과 같은 성질들을 보인다.

만약 개체 수가 매우 작다면 ( $0\leq x_{n}\ll 1$ ), 개체 수는 매개 변수 $r$ 에 따라 기하급수적으로 증가하거나 ( $r>1$ ) 감소한다 ( $0<r<1$ ).
만약 개체 수가 최댓값 $x=1$ 에 매우 가깝다면, 개체 수는 과밀도로 인하여 급격히 감소한다.

즉, 로지스틱 사상에서는 개체의 수가 $r$ 배로 늘어나지만, 그 가운데 $(N_{\max }-N)/N_{\max })$ 는 과밀도로 사망하게 된다.

로지스틱 사상을 개체 수 모형으로 생각한다면, 초기 조건은 $x_{0}\in [0,1]$ 이며, $r\in [0,4]$ 이어야 한다. 이를 벗어나면, 개체 수가 음수가 되는 등의 기현상이 발생한다.

성질[편집]

$r$ 에 따라 로지스틱 사상은 다음과 같은 성질을 보인다.

$0\leq r\leq 1$ 일 경우, $x$ 는 0으로 수렴한다.
$1\leq r<3$ 일 경우, $x$ 는 $1-1/r$ 로 수렴하며, 수렴하는 속도는 선형이다. 이 가운데 $r=2$ 인 경우는 해석적으로 풀 수 있다.
$r=3$ 일 경우 $x$ 는 $1-1/3$ 으로 수렴하지만, 수렴하는 속도는 매우 느리다.
$3<r<1+{\sqrt {6}}$ 일 경우, 거의 모든 초기 조건은 주기 2의 주기점에 도달한다.
$1+{\sqrt {6}}<r<3.54409$ 일 경우, 거의 모든 초기 조건은 주기 4의 주기점에 도달한다.
$3.54409<r<3.56995$ 일 경우, $r$ 가 증가하면서 거의 모든 초기 조건은 주기 2ⁿ의 주기점에 도달한다. 주기는 $r$ 가 증가하면서 두 배씩 증가(주기배가 분기)하며, 주기가 일정한 $r$ 의 구간의 길이는 제1종 파이겐바움 상수 $\delta \approx 4.669201609$ 의 역수로 기하급수적으로 감소한다.
$3.56995\leq r<4$ $3.56995\leq r<4$ 일 경우, 대부분의 $r$ $r$ 값들은 혼돈을 보인다. 거의 모든 초기 조건은 무한한 주기를 가진다.
- 다만, 이 구간에서도 일부 $r$ 값은 혼돈을 보이지 않을 수 있다. 예를 들어, $r=1+{\sqrt {8}}$ 부터 시작하는 작은 구간에서는 거의 모든 초기 조건은 주기 3의 주기점으로 수렴한다. (다만, 샤르코우스키 정리에 따라 이 경우 모든 주기의 주기점이 존재한다.) 이보다 $r$ 가 더 커지면 주기는 6, 12, 24 등으로 증가(주기배가 분기)하여, 결국 다시 혼돈 현상을 보이게 된다.
$r=4$ 인 경우는 혼돈적이지만, 해석적으로 풀 수 있다.
$r>4$ 일 경우, 거의 모든 초기 조건은 $\pm \infty$ 로 발산한다.