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스핀(영어: spin)이란 입자의 고유한 성질중의 하나로, 일종의 비고전적 각운동량이다. 입자의 스핀은 거시적인 실험결과에선 구체의 자전과 같은 현상이 보여지지만, 입자가 질량중심을 기준으로 돌면서 생기는 궤도각운동량과는 달리 미시적으로 입자가 고전적으로 어떤 축을 중심으로 회전하는 것에 기인한 각운동량은 아니다. 스핀은 원자와 같은 미시적 계의 물리학을 기술하는데 아주 중요하게 사용되고 있다.

모든 입자는 종류에 따라 서로 다른 스핀 양자수를 갖는다. 정수 또는 반정수의 스핀 양자수를 가질 수 있고, 두 경우 파울리의 배타원리 때문에 입자의 통계적 성질이 매우 다르다.

스핀이란 개념은 물리학자 볼프강 파울리가 최초로 제안하였고, 1925년에 G.E.윌렌베크와 S.A.고우트스미트가 스핀이란 이름과 함께 입자가 어떤 축을 대상으로 회전하는 것이라는 해석을 처음 제안하였다. 스핀에 대한 자세한 수학적 이론은 1927년에 파울리가 개발 하였다.

개요[편집]

양자물리학과 관련된 발견 중 가장 주목할 만한 발견으로는 기본입자가 0이 아닌 스핀각운동량을 가질 수 있다는 점이다. 여기서 기본입자란 더이상 쪼개지지 않는 광자, 전자, 여러 쿼크와 같은 입자들을 말한다. 현대물리학에서는 기본입자의 스핀은 이론적으로나 실험적으로나 이를 더 작은 입자들이 질량중심을 기준으로 회전에 의해선 설명될 수 없음이 알려져 있다. 스핀은 이러한 계의 운동에 의한 성질이 아니라 전하량, 질량 같은 입자의 본질적인 물리적 성질이다.

스핀이란 이름이 말하듯이 초기에는 이를 전자의 자전에 의한 각운동량으로 해석하였다. 이는 스핀의 수학적 법칙들이 각운동량의 양자역학적 법칙들과 기본 구조가 잘 맞아 떨어진다는 면에서 일종의 각운동량일 것이란 것은 맞는 말이였다. 하지만, 자전으로 생기는 각운동량과 스핀을 비교해 보면 차이점이 생긴다. 예를 들어,

스핀양자수는 궤도양자수와 달리 반정수 값을 가질 수 있다.
스핀각운동량과 자기쌍극자모멘트의 관계를 주는 g-인자 가 1이 아니다.

이러한 이유 때문에, 스핀이 입자의 자전에 의해 스핀이 생긴다는 설명은 틀린 것이다. 그러므로 스핀에 해당하는 고전적인 물리량은 존재하지 않는다.

스핀은 위와 같은 이유 때문에 좌표를 사용하여 각운동량처럼 기술하는 것이 아니라 교환자 관계나 상태들의 관계와 같은 추상적인 관계들로부터 출발하여 기술한다.

기본 구조는 각운동량과 같기 때문에 스핀의 크기 S 또한 각운동량과 마찬가지로 양자화 되어 있고 다음과 같이 특정 값만을 가질 수 있다.

S=\hbar {\sqrt {s(s+1)}}

여기서 ħ 는 플랑크 상수 h를 2π로 나눈 것을 말하고 $s$ 는 음수가 아닌 정수 또는 반정수(0, 1/2, 1, 3/2, 2, 등등)이다. 여기서 s 를 스핀 양자수(spin quantum number)라 한다. 예를 들어, 전자는 스핀-1/2 입자라고도 불리는데 전자의 스핀 양자수가 1/2 이기 때문이다. 이 외에 스핀-1/2입자로는 뉴트리노나 쿼크와 같은 입자들이 있다. 다른 스핀을 갖는 입자로는 스핀-1 입자인 광자, 스핀-2 입자인 가설적인 중력자, 스핀이 0인 가설적인 힉스 보존이 있다.

양성자, 중성자, 원자핵, 원자같은 복합입자의 스핀은 입자를 구성하는 기본입자들의 스핀으로부터 얻어진다. 그리고 총 각운동량은 기본입자들의 스핀들의 합과 입자 자체의 궤도각운동량의 합으로 이루어진다. 복합입자도 기본입자처 럼 일정한 스핀을 가지고 있다고 하기도 한다. 예를 들어, 양성자는 스핀-1/2 입자이다. 이는 복합입자의 제일 낮은 에너지를 같는 내부 상태의 스핀을 조사 (즉, 성분의 주어진 스핀과 궤도각운동량의 적절히 배치) 함으로써 구할 수 있다.

하지만, 기본입자의 스핀으로부터 복합입자의 스핀을 얻어내는게 항상 쉬운일은 아니다. 예를 들어, 양성자는 스핀-1/2 입자로 알려져 있지만, 복합입자 내부에서 쿼크와 글루온들의 스핀이 어떻게 분포되어 있는지 찾아내는 것은 현재도 연구중인 분야이다.

스핀의 수학적 설명[편집]

스핀 연산자는 궤도각운동량 연산자와 마찬가지로 다음과 같은 교환관계를 가지고 있다.

[S_{i},S_{j}]=\sum _{k}i\hbar \epsilon _{ijk}S_{k}

여기서 $\epsilon _{ijk}$ 는 레비-치비타 기호이다. 보통 위 식에서 아인슈타인 표기법을 사용해 합 기호를 생략하여 아래와 같이 자주 쓴다.

[S_{i},S_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}S_{k}

그리고 궤도각운동량과 마찬가지로 스핀 연산자 $S^{2}$ 와 $S_{z}$ 를 정의하고, 이 연산자의 고유벡터는 다음과 같다. (여기에선 켓으로 고유벡터를 표기)

S^{2}|s,m\rangle =\hbar ^{2}s(s+1)|s,m\rangle

S_{z}|s,m\rangle =\hbar m|s,m\rangle

각 고유벡터에 작용하는 스핀 올림 연산자 $S_{+}$ 와 스핀 내림 연산자 $S_{-}$ 를 다음과 같이 정의한다.

S_{\pm }=S_{x}\pm iS_{y}\;

이 연산자를 스핀 연산자의 고유벡터에 작용시키면 아래와 같이 계수를 포함하면서 고유벡터에 서 z성분을 나타내는 양자수의 상태가 변하게 된다.

S_{\pm }|s,m\rangle =\hbar {\sqrt {s(s+1)-m(m\pm 1)}}|s,m\pm 1\rangle

궤도각운동량과 달리 스핀 연산자의 고유함수는 구면조화함수가 아니며 φ 와 φ 같은 구면좌표계등 의 좌표를 사용하여 표현할 수 있는 함수가 아니다. 따라서, 여기서는 $s$ 와 $m$ 이 반정수가 아닐 필요가 없게 된다.

스핀이 ½인 입자[편집]

전자의 스핀과 같이, $\textstyle s={\frac {1}{2}}$ 인 입자의 경우, 스핀 연산자의 z성분 $S_{z}$ 는

\langle s,m'|S_{z}|s,m\rangle =\hbar m\delta _{m',m}

(여기서 $\delta _{m',m}$ 는 크로네커 델타) 을 이용하면 다음과 같이 행렬로 나타낼 수 있다.

S_{z}=\hbar {\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&0\\0&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}

스핀 올림 연산자와 스핀 내림 연산자의 경우는

\langle s,m'|S_{\pm }|s,m\rangle =\hbar {\sqrt {s(s+1)-m(m\pm 1)}}\delta _{m',m\pm 1}

가 되고 행렬로 이 연산자를 표현하면

S_{+}=\hbar {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}\qquad S_{-}=\hbar {\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}}

이를 파울리 행렬을 사용해 다음과 같이 표현하기도 한다.

\mathbf {S} ={\frac {1}{2}}\hbar \mathbf {\sigma }

여기서,

\sigma _{x}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\qquad \sigma _{y}={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}\qquad \sigma _{y}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}

이 다.

스핀 연산자의 z성분의 고유벡터는 다음과 같이 두개의 성분을 가진 행벡터를 사용해 나타내는 스피너를 사용해 나타내기도 한다.

S_{z}{\begin{bmatrix}u\\v\end{bmatrix}}=\pm {\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}u\\v\end{bmatrix}}

위 식에 $S_{z}$ 의 행렬 표현을 대입하면, 아래의 스핀의 값이 양수인 경우의 스피너 $\chi _{+}$ 와 음수인 경우의 스피너 $\chi _{-}$ 를 얻을 수 있다.

\chi _{+}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\qquad \chi _{-}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}

일 반적인 스피너 $\chi$ 는 이를 기저로 해서 표현할 수 있다.

\chi =\alpha _{+}\chi _{+}+\alpha _{-}\chi _{-}

여기서 $\alpha _{+}$ 와 $\alpha _{-}$ 는 상수이다.

역사[편집]

스핀이란 현상의 발견은 실험을 통해서 이루어졌다. 현재의 양자역학의 여러 이론들이 확립되기 전, 여러 원소의 방출스펙트럼의 분석에서 기존의 이론으로 설명되지 않는 불가사의한 여러 스펙트럼의 무늬들이 발견되었다. 그 중, 알칼리 금속의 스펙트럼 선이 자기장에 놓이면 이중선으로 갈라지는 현상이 있었다. 제만 효과로 알려져 있는 이 현상은 기존의 준고전적인 이론에서는 일어날 수 없는 현상이였다. 1924년, 볼프강 파울리는 이 현상을 설명하기 위해 전자의 경우, 두개의 값을 가질 수 있는 새로운 양자적 자유도를 제안한다. 이는 후에 그의 가장 유명한 이론인 어떠한 두 전자도 양자수가 모두 같은 상태에 있을 수 없다는 파울리의 배타원리를 찾아내는데 큰 영향을 미치게 된다.

처음 이 새로운 자유도가 발표된 후, 이의 물리적 의미에 대해선 전혀 알려지지 않았다. 1925년 초, 알프레드 란데의 제자였던 랄프 크로니히는 이를 설명하기 위해 어떤 축을 중심으로 전자가 $\textstyle {\frac {1}{2}}$ 단위의 각운동량을 가지고 자체적으로 회전하고 있다는 가설을 파울리에게 제안한다. 하지만 파울리는 이 가설을 크게 비판한다. 이 가설을 기반으로 스펙트럼 선을 갈라지게 할 정도로 충분한 각운동량을 생성하기 위해선 가상적인 전자의 표면은 빛의 속도보다 빠르게 돌야 하기 때문이고, 이는 상대성이론에 위배되기 때문이다. 이러한 파울리의 비판을 듣고 크로니히는 이 가설을 발표하지 않는다.

1925년의 가을, 네덜란드의 두 물리학자 조지 윌렌베크와 사무엘 고우트스미트는 이 비고전적인 자유도에 대해 크로니히와 같은 생각을 하게 된다. 그리고 폴 에렌페스트의 조언을 바탕으로, 이에 대한 논문을 발표하게 된다. 이 논문에 대해 여러 물리학자들은 호의적인 반응을 보내왔다. 특히 르웰린 토마스가 윌렌베크와 고우트스미트의 계산과 실험간의 모순을 해결하기 위해 토마스 인자를 도입한 뒤로부터는 거의 이 이론이 확실시 되었다. 이 모순의 원인은 전자의 접공간의 방향과 전자의 위치이다. 수학적으로는 파이버번들을 통한 설명이 필요하다. 접다발 효과는 더할 수 있고, 상대론적이다. 다시 말하면, 만약 빛의 속도가 무한으로 발산하면, 접다발이 없어짐을 의미한다. 이는 접공간의 방향을 고려하지 않은 채 얻어진 결과의 반이 되고 부호는 반대가 된다. 따라서 합쳐진 효과는 예측된 결과보다 두배만큼 크게 된다.(토마스 축돌기)

파울리는 초기에 이에 대한 반대 의견에도 불구하고 에르빈 슈뢰딩거와 베르너 하이젠베르크의 양자역학의 근대적 이론들을 바탕으로 1927년 이를 구체화 했다. 이를 기술하면서 스핀 연산자를 파울리 행렬을 사용해 최초로 기술했으며, 두개의 자유도를 기술하기 위한 두개의 성분을 가진 스피너 파동함수를 도입하게 된다.

1928년에는 폴 디락이 비상대론적인 파울리의 스핀이론을 보완하기 위해 상대론적인 전자의 성질을 기술하는 디락 방정식을 발표하게 된다. 디락 방정식에서는 디락 스피너라는 네개의 성분을 가진 스피너가 전자의 파동함수로써 쓰이게 된다.

이렇게 스핀에 대한 기본적 사실들이 거의 다 밝혀졌지만, 왜 자연은 스핀이 $\textstyle {\frac {1}{2}}$ 단위의 각운동량만을 가지도록 허용하는가에 대해선 전혀 밝혀진 것이 없었다. 파울리와 빅토르 바이스코프는 관점을 바꾸어 슈뢰딩거가 1926년 양자파동역학의 이론을 구상하다가 실패한 스핀이 0인 입자의 물리학을 기술하는 클라인-고든 방정식의 양자화를 재시도하게 된다. 슈뢰딩거는 이에 실패했지만 파울리와 바이스코프는 디락이 디락 방정식을 유도하는 과정을 이용하여 양전하나 음전하를 띄는 입자에 대해서 클라인-고든 방정식을 양자화 시키는데 성공하게 된다.

이후 1932년, 디락이 처음 예상했던 양성 전자인 앙전자가 칼 앤더슨에 의해 발견되고, 제임스 채드윅은 중성자를 발견하게 된다. 1935년에는 유카와 히데키가 메존의 존재를 예상하고, 1936년에는 뮤온이 발견되었다. 갑자기 몇년 사이에 많은 새로운 입자들이 발견되면서 각 입자들을 특성에 따라 분류할 필요가 생겨졌다. 또한 이 입자들도 기존의 이론의 클라인-고든 방정식과 디락 방정식에 잘 적용이 되는지 확인할 필요가 있어졌다. 이렇게 시작된 입자의 분류들은 현대물리학의 훌륭한 개념들 중의 하나인 파울리의 스핀통계 정리가 발표되는 기반이 된다.

1940년, 파울리에 의해 스핀통계 정리가 발표되면서 스핀이 입자를 구별하는 하나의 기준이 된다. 이 기준에 따르면 입자를 크게 정수단위의 각운동량을 가지며 보즈-아인슈타인 분포를 따르는 보존, 반정수단위의 각운동량을 가지며 페르미-디락 분포를 따르는 페르미온으로 분류할 수 있다. 또한 전자가 속하는 페르미온에 대해선 스핀이 파울리의 배타원리를 만족하도록 해주는 양자수였지만, 보존에선 배타원리가 성립하지 않는다.

Notes[편집]

References[편집]

Griffiths, David J. (2004). 《Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.)》. Prentice Hall. ISBN 0-13-111892-7. |id=에 templatestyles stripmarker가 있음(위치 1) (도움말)

Shankar, R. (1994). 〈chapter 14-Spin〉. 《Principles of Quantum Mechanics (2nd ed.)》. Springer. ISBN 0-306-44790-8. |id=에 templatestyles stripmarker가 있음(위치 1) (도움말)
Lawden, Derek (2005). 《The Mathematical Principles of Quantum Mechanics》. Dover. ISBN 0-486-44223-3. |id=에 templatestyles stripmarker가 있음(위치 1) (도움말)

"Spintronics. Feature Article" in Scientific American, June 2002