함자 (수학)

범주론에서 함자(函子, 영어: functor 펑크터^[*] /ˈfʌŋktə(r)/)는 두 범주 사이의 함수에 해당하는 구조로, 대상을 대상으로, 사상을 사상으로 대응시킨다. 함자는 작은 범주의 범주의 사상으로 볼 수 있다.

함자의 개념은 대수적 위상수학에서 위상 공간에 대해 기본군 등의 대수적 구조를 대응시키면서 나타났다. 현재는 현대 수학의 거의 모든 분야에서 다양한 범주들 사이의 관계를 나타내기 위해 함자의 개념을 사용한다.

정의

$C$와 $D$가 범주라 하자. 이때 $C$와 $D$ 사이의 함자 $F\colon C\to D$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• $C$의 임의의 대상 X에 대해 대응되는 D의 대상 $F(X)$
• $C$의 임의의 사상 $f\colon X\to Y$에 대해 대응되는 D의 사상 $F(f)\colon F(X)\to F(Y)$

이 데이터는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

• (항등사상의 보존) $F(\operatorname {id} _{X})=\operatorname {id} _{F(X)}$
• (사상 합성의 보존) $C$의 임의의 사상 $f\colon X\to Y$와 $g\colon Y\rightarrow Z$에 대해 $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$

다시 말해, 함자는 항등사상과 사상의 합성을 보존한다.

정의역과 공역이 같은 범주인 함자를 자기 함자(自己函子, 영어: endofunctor 엔도펑크터^[*])라고 한다. 자기 함자는 작은 범주로 이루어진 범주 $\operatorname {Cat}$의 자기 사상이기도 하다.

공변함자와 반변함자

수학에서는 사상의 방향을 바꾸는 함자를 생각해야 하는 경우도 많이 있다. 따라서 $F$가 $C$에서 $D$로의 반변함자(反變函子, 영어: contravariant functor)는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• $C$의 임의의 대상 $X$에 대해 대응되는 $D$의 대상 $F(X)$
• $C$의 임의의 사상 $f\colon X\to Y$에 대해 대응되는 $D$의 사상 $F(f)\colon F(Y)\to F(X)$

이 데이터는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

• (항등사상의 보존) $F(\operatorname {id} _{X})=\operatorname {id} _{F(X)}$이다.
• (사상 합성의 반변) $C$의 임의의 사상 $f\colon X\to Y$와 $g\colon Y\rightarrow Z$에 대해 $F(g\circ f)=F(f)\circ F(g)$

즉, 반변함자가 합성사상을 보낼 때 두 사상의 순서가 바뀐다. 위에서 정의한 사상의 방향을 바꾸지 않는 보통의 함자는 반변함자와 구분하기 위해 공변함자(共變函子, 영어: covariant functor)라고 한다. 다른 방법으로, 범주의 반변함자를 것을 그 쌍대범주의 공변함자로서 정의할 수도 있다. 일부 저자들은 모든 함자를 공변적으로 서술하는 쪽을 선호하며, 따라서 $F:C\rightarrow D$가 반변함자라고 말하는 대신 $F:C^{op}\rightarrow D$(혹은 $F:C\rightarrow D^{op}$)가 (공변)함자라고 말한다.

예

• 상수 함자(영어: identity functor): $C$의 모든 대상에 대해 $D$의 특정한 대상 $X$를 대응시키고, $C$의 모든 사상에 대해 X 상의 항등사상을 대응시키는 함자를 상수 함자 혹은 선택 함자라고 한다.
• 대각 함자(영어: diagonal functor): $D$의 대상 $X$를 $X$ 상의 상수 함자로 보내는 함자를 대각 함자라고 한다. 이는 $D$에서 함자 범주 $D^{C}$로의 함자이다.

역사

‘독일어: Funktor 풍크토어^[*]’라는 단어는 원래 철학자 루돌프 카르나프가 1934년에 언어철학에 대한 저서 《언어의 논리적 구문》(독일어: Logische Syntax der Sprache)에서 정의한 용어다.

사무엘 에일렌베르크와 손더스 매클레인이 1945년에 카르나프의 용어를 ‘영어: functor 펑크터^[*]’로 수학에 차용하여 도입하였다. 이에 대하여 에일렌베르크와 매클레인은 다음과 같이 적었다.

“	범주를 정의한 이유는 함자를 정의하기 위해서이고, 함자를 정의한 이유는 자연 변환을 정의하기 위해서이다. […] “category” has been defined in order to be able to define “functor” and “functor” has been defined in order to be able to define “natural transformation”.	”
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참고 문헌

• Awodey, Steve (2010). 《Category Theory》. Oxford Logic Guides (영어) 49 2판. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-958736-0. MR 2668552. Zbl 1194.18001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• Barr, Michael; Charles Wells (2012). 《Category Theory for Computing Science》. Reprints in Theory and Applications of Categories (영어) 22 3판. MR 2981171. Zbl 1253.18001. 2015년 1월 15일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 9월 22일에 확인함.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• Bucur, Ion; Aristide Deleanu (1968). 《Introduction to the theory of categories and functors》. Pure and Applied Mathematics (영어) 19. Wiley. MR 0236236. Zbl 0197.29205. 

외부 링크

• “Functor”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Functor”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Functor”. 《nLab》 (영어).