가산 생성 공간

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일반위상수학에서 가산 생성 공간(可算生成空間, 영어: countably generated space) 또는 가산 밀착 공간(可算密着空間, 영어: countably tight space)은 그 위상이 가산 부분 공간들에 의하여 결정되는 위상 공간이다. 이와 동치인 정의로서, 부분 집합폐포점이 항상 그 가산 부분 집합의 폐포점일 정도로 ‘지나치게 촘촘하지 않은’ 위상 공간이다.

정의[편집]

국소 가산 공간[편집]

위상 공간 및 점 에 대하여, 근방의 최소 크기라고 하자.

위상 공간 국소 크기(局所크기, 영어: local cardinality) 는 모든 들의 상한이다.[1]:148

국소 크기가 이하인 위상 공간국소 가산 공간이라고 한다. 즉, 국소 가산 공간은 모든 점이 가산 근방을 갖는 위상 공간이다.[1]:149

가산 생성 공간[편집]

위상 공간 및 부분 집합 에 대하여,

라고 하자.

위상 공간 의 점 에서의 국소 밀착도(局所密着度, 영어: local tightness) 는 다음과 같다.[2]:62, §XI.A

위상 공간 밀착도(密着度, 영어: tightness) 는 국소 밀착도들의 상한이다.[2]:62, §XI.A[3]:13, §1.2

위상 공간 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 가산 생성 공간이라고 한다.

  • 밀착도가 이하이다.[4]:657 즉, 임의의 에 대하여, 인 가산 부분 집합 가 존재한다.
  • 임의의 에 대하여, 만약 임의의 가산 집합 에 대하여 열린집합이라면, 는 열린집합이다.
  • 임의의 에 대하여, 만약 임의의 가산 집합 에 대하여 닫힌집합이라면, 는 닫힌집합이다.
  • 국소 가산 공간의 몫공간이다.[4]:657

성질[편집]

모든 점렬 공간은 가산 생성 공간이자 콤팩트 생성 공간이다. 모든 국소 가산 공간은 가산 생성 공간이다. 가산 생성 콤팩트 하우스도르프 공간이 항상 점렬 공간인지 여부는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론과 독립적이다. 구체적으로, 만약 고유 강제법 공리가 참이라면, 모든 가산 생성 콤팩트 하우스도르프 공간점렬 공간이다.[5]:755 반면 만약 다이아몬드 원리가 참이라면, 점렬 공간이 아닌 가산 생성 콤팩트 하우스도르프 공간이 존재한다.[5]:755

가산 생성 공간의 범주는 위상 공간의 범주 쌍대 반사 부분 범주를 이룬다.

연산에 대한 닫힘[편집]

가산 생성 공간은 부분 공간몫공간에 대하여 닫혀 있지만, 연속 함수에 대한 이나 곱공간에 대하여 닫혀 있지는 않다.

부분 공간[편집]

임의의 위상 공간 및 그 부분 공간 에 대하여,

이다.[3]:19, Problem 159 특히, 가산 생성 공간의 부분 공간은 항상 가산 생성 공간이다.

몫공간[편집]

임의의 위상 공간 및 그 몫공간 에 대하여,

이다.[3]:20, Problem 162 특히, 가산 생성 공간의 몫공간은 항상 가산 생성 공간이다.

연속 함수에 대한 상[편집]

가산 생성 공간의 연속적 상은 가산 생성 공간이 아닐 수 있다.[3]:19, Problem 158 예를 들어, 이산 공간의 밀착도는 1이므로 가산 생성 공간이며, 비(非)린델뢰프 공간연속 함수 공간 위에 점별 수렴 위상을 부여하여 만든 공간은 비가산 생성 공간이다. 후자는 그 위상을 이산 위상으로 대체한 공간의 연속적 상이다.

곱공간[편집]

임의의 콤팩트 하우스도르프 공간들의 집합 곱공간의 밀착도는 다음과 같다.[6]:86, Theorem 10.6

특히, 가산 개의 가산 생성 콤팩트 하우스도르프 공간들의 곱공간은 가산 생성 공간이다.

콤팩트 공간[편집]

기수 가 주어졌을 때, 위상 공간 위의 길이 자유 점렬(영어: free sequence)은 다음 조건을 만족시키는 그물 이다.

콤팩트 하우스도르프 공간 의 밀착도는 그 위의 자유 점렬들의 길이들의 상한과 같다.[6]:36, Theorem 2.10[3]:38, Problem 328

[편집]

점렬 공간이 아닌 가산 생성 공간[편집]

집합 위에 다음 집합들을 열린집합으로 하는 위상을 주자.

  • 통상적인 열린집합
  • 통상적인 0의 열린 근방 과, 통상적인 위상에서 0으로 수렴하는, 0이 아닌 수열 에 대하여,

이는 (가산 공간이므로) 가산 생성 공간이지만, 점렬 공간이 아니다.[7]:62, Excercise 2.10.7 구체적으로, 점렬 열린집합이지만, 열린집합이 아니다.

함수 공간[편집]

티호노프 공간 가 주어졌을 때, 점별 수렴 위상을 부여한 연속 함수 공간 의 밀착도는 다음과 같다.[3]:18, Problem 149

여기서 린델뢰프 수이다. 특히, 티호노프 공간 에 대하여, 가 가산 생성 공간인 것은 임의의 유한 번 곱공간 린델뢰프 공간인 것과 동치이다.

참고 문헌[편집]

  1. Vaughan, J. E. (1980). “Countably compact, locally countable T2-spaces”. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) 80 (1): 147–153. doi:10.2307/2042162. ISSN 0002-9939. JSTOR 2042162. MR 574525. Zbl 0444.54013. 
  2. Rudin, Mary Ellen (1975). 《Lectures on set theoretic topology》. Regional Conference Series in Mathematics (영어). Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1673-X. Zbl 0318.54001. 
  3. Tkachuk, Vladimir V. (2011). 《A Cp-Theory Problem Book: Topological and Function Spaces》. Problem Books in Mathematics (영어). New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4419-7442-6. ISBN 978-1-4419-7441-9. ISSN 0941-3502. LCCN 2011923537. MR 3024898. Zbl 1222.54002. 
  4. Kannan, V. (1974). “A note on countably generated spaces”. 《Archiv der Mathematik》 (영어) 25: 657–658. doi:10.1007/BF01238744. ISSN 0003-889X. Zbl 0296.54024. 
  5. Balogh, Zoltán (1989). “On compact Hausdorff spaces of countable tightness”. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) 105 (3): 755–764. doi:10.2307/2046929. ISSN 0002-9939. JSTOR 2046929. MR 0930252. Zbl 0687.54006. 
  6. Monk, J. Donald (1990). 《Cardinal Functions on Boolean Algebras》. Lectures in Mathematics. ETH Zürich (영어). Basel: Birkhäuser. doi:10.1007/978-3-0348-6381-0. ISBN 978-3-7643-2495-7. MR 1077622. Zbl 0706.06009. 
  7. Brown, Ronald (2006). 《Topology and groupoids. A geometric account of general topology, homotopy types and the fundamental groupoid》 (영어) 3차 개정 증보판. ISBN 1-4196-2722-8. Zbl 1093.55001. 

외부 링크[편집]