리프먼-슈윙거 방정식

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양자역학에서, 리프먼-슈윙거 방정식(Lippmann–Schwinger equation)은 입자의 산란을 다루는 방정식이다. 미국의 버너드 리프먼(Bernard A. Lippmann)과 줄리언 슈윙거가 1950년에 유도하였다.[1]

정의[편집]

자유 해밀토니언이 에 퍼텐셜 가 산란을 일으킨다고 하자. 입사(入射) 입자 는 자유 해밀토니언에 대하여 에너지 를 가진 고유 상태라고 하자.

.

산란 이론의 목표는 에 의하여 산란된 입자의 파동 함수 를 계산하는 것이다. 즉, 다음 식을 만족하는 를 구한다.

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이 두 식을 더하고, 항을 정리하면 다음과 같은 식을 얻는다.

.

이제 양변에 를 곱할 수 있다면, 다음과 같은 식을 얻을 것이다.

.

하지만 에 대한 고윳값이 일 경우에는 정의할 수 없다. 섭동 이론에서는 고윳값이 문제가 되는 경우를 적절한 사영 연산자로 사영해 없앨 수 있지만, 산란 이론에서 다루는 해밀토니언은 연속 스펙트럼을 가지므로 이렇게 할 수 없다. 대신, 복소수로 잡고, 그 허수 부분이 매우 작다고 하자.

().

이렇게 하여 을 나타낼 수 있다. 이 식을 리프먼-슈윙거 방정식이라고 한다. 리프먼-슈윙거 방정식은 경로적분법을 통해 풀 수 있으며, 그 해 가운데 는 초기 상태, 는 나중 상태의 파동 함수이다.

그린 함수[편집]

리프먼-슈윙거 방정식은 다음과 같이 위치 고유벡터 을 삽입해 적분 방정식으로 나타낼 수 있다.

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통상적인 경우, 퍼텐셜 항은 위치에만 의존한다.

그러면 이 식은 다음과 같다.

.

여기서 다음과 같이 그린 함수 를 정의하자.

.

이를 대입하고, 브라-켓 표기법을 일반 함수 표기법으로 바꾸면 다음과 같은 적분 방정식을 얻는다.

.

빛의 속도보다 매우 느린 입자의 경우 은 다음과 같다.

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이에 해당하는 그린 함수 경로적분법을 통해 다음과 같이 계산할 수 있다.

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보른 근사법[편집]

리프먼-슈윙거 방정식의 해는 보른 근사법(Born approximation)을 통해 급수로 나타낼 수 있다.[2][3]

1차 보른 근사법이란 리프먼-슈윙거 방정식 우변에서 총 파동 함수 를 입사 파동 함수 으로 치환하여 푸는 것이다. (즉, 이미 산란된 입자가 재차로 산란되는 경우를 무시한다.)

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이 해를 리프먼-슈윙거 방정식에 도입해 2차 이상의 보른 근사를 차례로 계산할 수 있다.

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참고 문헌[편집]

  1. Bernard A. Lippmann, Julian Schwinger (1950). “Variational Principles for Scattering Processes I”. 《Physical Review79 (3): 469–480. doi:10.1103/PhysRev.79.469. 
  2. Born, Max (1933). 《Optik: Ein Lehrbuch der elektromagnetische Lichttheorie》. Springer-Verlag. 
  3. Max Born, Emil Wolf (1999). 《Principles of Optics: Electromagnetic Theory of Propagation, Interference and Diffraction of Light》 7판. Cambridge University Press. ISBN 9780521642224.  (1판: Max Born, Emil Wolf (1959). 《Principles of Optics: Electromagnetic Theory of Propagation, Interference and Diffraction of Light》 1판. Pergamon.  )