단면환

대수기하학에서 단면환(斷面環, 영어: ring of sections)은 어떤 가역층의 거듭제곱들의 단면들로 구성된 등급환이다. 그 차원−1을 가역층의 이타카 차원([飯高]次元, 영어: Iitaka dimension)이라고 한다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 대수적으로 닫힌 체 $K$
• $K$ 위의 대수다양체 $X$
• $X$ 위의 가역층 ${\mathcal {L}}$

그렇다면, 다음과 같은, 자연수(음이 아닌 정수) 등급의, $K$ 위의 등급 대수를 정의할 수 있다.

$\operatorname {R} ({\mathcal {L}})=\bigoplus _{n=0}^{\infty }\Gamma (X;{\mathcal {L}}^{\otimes n})$

$\operatorname {R} ^{n}({\mathcal {L}})=\Gamma (X;{\mathcal {L}}^{\otimes n})$

즉, 그 속에서 $n$차 등급의 원소는 가역층 ${\mathcal {L}}^{\otimes n}$의 단면이다. 이를 ${\mathcal {L}}$의 단면환이라고 한다.

단면환은 $K$-벡터 공간이며, 항상 단면들로 정의되는, 사영 공간으로의 유리 사상

$X\to \mathbb {P} (\operatorname {R} ({\mathcal {L}}))\cong \mathbb {P} _{K}^{\dim _{K}\operatorname {R} ({\mathcal {L}})-1}$

이 존재한다. 이 사영 공간의 차원(즉, 단면환의 차원 빼기 1)을 ${\mathcal {L}}$의 이타카 차원이라고 한다. 다만, 만약 ${\mathcal {L}}$이 효과적 인자가 아니어서 단면을 가지지 않는다면, 이타카 차원은 $-\infty$로 놓는다.

큰 가역층

다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 가역층을 큰 가역층(영어: big invertible sheaf)이라고 한다.

• ${\mathcal {L}}$은 풍부한 가역층과 효과적 가역층의 텐서곱으로 나타낼 수 있다.
• 이타카 차원이 상계 $\dim X$를 포화한다.
• 단면환의 힐베르트 다항식은 $\dim X$차 다항식이다.

이 조건은 쌍유리 변환에 대하여 불변이며, 따라서 쌍유리 기하학에서 중요하게 쓰인다.

역사

이타카 시게루(일본어: 飯高 茂 (いいたか しげる), 1942〜)가 이타카 차원의 개념을 “D-차원”(영어: D-dimension)이라는 이름으로 도입하였다.