너트와 볼트

일반 상대성 이론에서 너트(영어: nut)와 볼트(영어: bolt)는 시공간의 등거리변환에 대한 고정점들의 종류이다. 너트와 볼트의 수에 따라서 시공간들을 분류할 수 있다.

정의

d차원 유클리드 계량 부호수의 시공간 $M$이 킬링 벡터 $K^{\mu }$를 갖는다고 하자. 그렇다면 $K^{\mu }|_{x}=0$인 점 $x$는 킬링 벡터의 고정점이다. 고정점 $x$ 근처에서 킬링 벡터의 작용은 $\nabla _{\nu }K^{\mu }|_{x}\colon T_{x}M\to T_{x}M$으로 나타내어진다. $\nabla _{\nu }K_{\mu }$는 $d\times d$ 반대칭 행렬이며, 따라서 그 계수(rank)는 다음과 같다.

$\operatorname {rank} (\nabla _{\nu }K^{\mu })\in \{0,2,\ldots ,\lfloor d/2\rfloor \}$

이 경우, $\nabla _{\nu }K^{\mu }$의 계수에 따라 고정점들은 다음과 같이 분류된다. 계수가 $2k$인 경우는 고정점들은 $d-2k$차원의 부분다양체를 이룬다.

• 만약 계수가 0인 경우는 $x$의 근방에서 $K^{\mu }=0$이므로, 이 경우는 자명한 킬링 벡터만 가능하다.
• 만약 $0<d-2k<d$인 경우는 이 2k차원 고정 부분다양체를 볼트라고 한다.
• 만약 $d$가 짝수이며 $2k=d$인 경우, 이 고정 부분다양체는 하나의 고립된 고정점이다. 이 경우 고정점을 너트라고 한다.

볼트와 너트는 각각 추가로 분류할 수 있다. $\nabla _{\nu }K^{\mu }$의 0이 아닌 고윳값들이 $\pm \lambda _{1},\dots ,\pm \lambda _{k}$라고 하자. 만약 고윳값들의 비가 무리수라면 등거리변환의 작용에 대한 궤도는 고차원 부분공간의 조밀집합을 이루게 된다. 따라서 고윳값들의 비는 보통 유리수이며, 이 경우 비를 서로소 정수

$\lambda _{1}:\lambda _{2}:\cdots :\lambda _{k}=p_{1}:p_{2}:\cdots :p_{k}$

$p_{1},\dots ,p_{k}\in \mathbb {Z}$

로 나타내어 $(p_{1},\dots ,p_{k})$형 너트 또는 볼트로 부른다.

예

볼트의 대표적인 예는 유클리드 슈바르츠실트 계량의 사건 지평선이다. 이는 2차원 구면을 이룬다.

너트의 대표적인 예는 토브-너트 공간의 원점이다. 볼트와 너트라는 이름은 토브-너트 공간에서 유래하였다.

참고 문헌

• Gibbons, G. W.; S. W. Hawking (1979). “Communications in Mathematical Physics” (영어) 66 (3): 291–310. doi:10.1007/BF01197189. ISSN 0010-3616. MR 0535152.