환론과 모노이드 이론에서, 멱등원(冪等元, 영어: idempotent element)은 거듭제곱하여도 변하지 않는 원소이다.
범주의 멱등 사상[편집]
범주
의 자기 사상
가
를 만족시킨다면,
를
의 멱등 사상(영어: idempotent morphism)이라고 한다.
만약
이며
가 되는 사상
,
가 존재한다면,
를 분할 멱등 사상(영어: split idempotent morphism)이라고 한다.
의 카루비 껍질(영어: Karoubi envelope)
는 다음과 같은 범주이다.
의 대상
는
의 대상
과
위의 멱등 사상
의 순서쌍이다.
의 사상
는
의 사상
가운데,
인 것이다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}X&{\overset {e}{\to }}&X\\{\scriptstyle f}\downarrow &{\scriptstyle f}\searrow &\downarrow \scriptstyle f\\X'&{\underset {e'}{\to }}&X'\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bb95275483e67648c8904f677be4b164a4714dd)
위의 항등 사상은
이다.
카루비 껍질에서, 모든 멱등 사상은 분할 멱등 사상이다.
그렇다면, 충실충만한 함자
![{\displaystyle {\mathcal {C}}\to \operatorname {Split} ({\mathcal {C}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7faf3ef0a23ca0b7667cbdca81bca01c223849c7)
![{\displaystyle X\mapsto (X,\operatorname {id} _{X})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01dc044d3b6de8167423842f4d22818f28bf914c)
![{\displaystyle f\mapsto f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f73601afe70baa7eeb5f5cdbeaf2ed6c7318acd)
가 존재한다. 또한, 준층 범주의 동치
![{\displaystyle \operatorname {PSh} ({\mathcal {C}})\simeq \operatorname {PSh} (\operatorname {Split} ({\mathcal {C}}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd5c2da257c00d9e3c2f62c931f399df9c37ec23)
가 존재하며, 이에 따라 충실충만한 함자
![{\displaystyle \operatorname {Split} ({\mathcal {C}})\to \operatorname {PSh} (\operatorname {Split} ({\mathcal {C}}))\simeq \operatorname {PSh} ({\mathcal {C}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f75d1357f61796156352eeddc8351da4de5755b)
가 존재한다.
모노이드의 멱등원[편집]
모노이드
의 원소
가
을 만족시킨다면,
를
의 멱등원이라고 한다.
모노이드
의 멱등원들만으로 구성된 집합
에서, 만약
![{\displaystyle ee'=e'e\qquad \forall e\in E}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c91f4c194976ef00d4984d401774040917124bad)
가 성립한다면,
가 직교 멱등원 집합(영어: set of mutually orthogonal idempotents)이라고 한다.
모든 원소가 멱등원인 모노이드를 멱등 모노이드(영어: nilpotent monoid)라고 하며, 그 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다.
개의 원소로 생성되는 자유 멱등 모노이드의 집합의 크기는 다음과 같다. (OEIS의 수열 A005345)
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\prod _{i=1}^{k}(k-i+1)^{2^{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2592b94d9e41be324de048fa602a8e800585a88)
환의 멱등원[편집]
환은 곱셈 모노이드를 이루며, 환의 멱등원이란 곱셈에 대한 멱등원을 뜻한다.
환
의 멱등원
에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 멱등원을 원시 멱등원(영어: primitive idempotent)이라고 한다.
는
-분해 불가능 오른쪽 가군이다.
는
-분해 불가능 왼쪽 가군이다.
- 환
의 모든 멱등원은 0 또는 1이다.
이자
,
인 멱등원
가 존재하지 않는다.
환
의 멱등원
에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 멱등원을 국소 멱등원(영어: local idempotent)이라고 한다.
- 오른쪽 가군 자기 사상환
는 국소환이다.
- 왼쪽 가군 자기 사상환
는 국소환이다.
는 국소환이다.
모든 국소 멱등원은 원시 멱등원이다.
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