폴란드 공간

폴란드 공간(폴란드어: Przestrzeń polska 프셰스트셴 폴스카^[*], Polish space, -空間) 또는 폴란드인의 공간은 위상수학에서 다루는 위상공간 중 특별한 성질을 갖는 공간을 의미한다. 구체적으로 말해서, 완비 거리공간화가 가능하고 제2가산공리를 만족하는 위상공간을 폴란드 공간으로 정의한다. 이 공간에 '폴란드(polska)'라는 이름이 붙은 것은 처음으로 이 공간을 연구하던 학자들이 바츠와프 시에르핀스키, 카지미에시 쿠라토프스키, 알프레트 타르스키 등 주로 바르샤바 학파의 폴란드인 위상수학자 및 논리학자였기 때문이다.

성질

폴란드 공간은 다음과 같은 기본적인 몇 가지 성질을 갖는다.

1. 폴란드 공간의 닫힌 부분공간은 폴란드 공간이다.
2. 폴란드 공간의 열린 부분공간도 폴란드 공간이다.
3. 폴란드 공간의 가산 개만큼의 곱위상은 폴란드 공간이다.

부분공간이 폴란드 공간이 되기 위한 필요충분조건은 다음의 마주르키에비치 정리로 주어진다. 이 정리에는 폴란드 수학자 스테판 마주르키에비치(Stefan Mazurkiewicz)의 이름이 붙어 있다.

• 마주르키에비치 정리 : X가 폴란드 공간이고 A가 X의 부분공간일 때, A가 폴란드 공간일 필요충분조건은 A가 X 상에서 $G_{\delta }$-집합인 것이다.

따라서 X가 폴란드 공간일 필요충분조건은 $[0,1]^{N}$ 안의 $G_{\delta }$-공간과 위상동형인 것이다. 그밖에 폴란드 공간에서는 다음의 칸토어-벤딕손 정리도 성립한다. 이 정리에는 독일의 수학자 게오르크 칸토어와 스웨덴의 수학자 이바르 오토 벤딕손(Ivar Otto Bendixson)의 이름이 붙어 있다.

• 칸토어-벤딕손 정리 : X가 폴란드 공간이면, X 상에서 임의의 닫힌 집합은 적당한 완전집합과 가산집합의 서로소 합집합으로 나타낼 수 있다.

폴란드 군

폴란드 군은 폴란드 공간인 위상군을 의미한다. 폴란드 군은 폴란드 공간의 성질을 그대로 이어받기 때문에 위상군으로서 다루기 편하다.

같이 보기

• 완비 거리공간화
• 거리공간화
• 완비 거리공간

참고 문헌

• 김승욱, 《위상수학 - 집합론을 중심으로》, 경문사, 2004.
• James R. Munkres (2000), Topology, Prentice hall.