우리손 공간

위상 공간의 분리공리
T0	콜모고로프 공간
T1
T2	하우스도르프 공간
T2½	우리손 공간
완전 T2½	완비 하우스도르프 공간
T3	정칙 하우스도르프 공간
T3½	티호노프 공간
T4	정규 하우스도르프 공간
T5	완비 정규 하우스도르프 공간
T6	완전 정규 하우스도르프 공간

우리손 공간(Urysohn space) 또는 $T_{2{\frac {1}{2}}}$ 공간은 분리공리의 일부로 다뤄지는 특정한 성질을 만족하는 위상공간을 뜻한다. 소비에트 연방의 위상수학자 파벨 사무일로비치 우리손의 이름이 붙어 있다. 다음과 같이 정의한다.

• 위상공간 $X$가 우리손 공간일 필요충분조건은 $X$ 위의 임의의 두 점 $a$, $b$에 대해서 열린 집합 $U$, $V$가 존재하여 $a\in U$, $b\in V$이고, $U$와 $V$의 폐포를 ${\bar {U}}$, ${\bar {V}}$라 할 때 ${\bar {U}}\cap {\bar {V}}=\phi$ 를 만족하는 것이다.

조건에 따라 자명히 우리손 공간은 하우스도르프 공간이다. 또, T₃ 공간은 우리손 공간이다.

유사 개념

우리손 공간과 유사하게 다루어지는 공간으로 완비 하우스도르프 공간(completely Hausdorff space)이라는 개념이 있다. 이는 다음과 같이 정의한다.

• 위상공간 X가 하우스도르프 공간이라 하자. 그러면, 완비 하우스도르프 공간일 필요충분조건은 X 상의 임의의 두 점 a, b에 대해 연속함수 f:X → [0, 1]이 존재하여 f(a) = 0, f(b) = 1을 만족하는 것이다.

정의에 따라 티호노프 공간은 완비 하우스도르프 공간이며, 완비 하우스도르프 공간은 우리손 공간이다. 하지만 T₃ 공간과 완비 하우스도르프 공간 사이에는 직접적인 함의 관계가 성립하지 않는다.

같이 보기

• 하우스도르프 공간
• 정칙공간
• 티호노프 공간

참고 문헌

• 유정옥, 《알기쉬운 위상수학》, 교우사, 2006

바깥 고리

• 완비 하우스도르프 공간 : 플래닛매스