파라콤팩트 공간

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일반위상수학에서, 파라콤팩트 공간(paracompact空間, 영어: paracompact space)은 위상 공간으로서, 콤팩트 공간을 새로운 방식으로 정의하여 만든 공간이다. 미분위상수학미분기하학 등의 분야에 아주 유용하게 사용된다. 이들 분야에서 다루는 많은 공간들이 파라콤팩트 공간이며, 이 공간은 단위 분할 성질을 가져서 국소적인 성질을 통해 전체적인 성질을 정의할 수 있기 때문에 리만 계량, 미분 형식적분 등 여러 주제에서 유용하기 때문이다.[1]:68

정의[편집]

파라콤팩트 공간은 다음과 같이 정의된다.[1]:68

  • 위상 공간 X가 파라콤팩트 공간일 필요충분조건은 X의 모든 열린 덮개가 국소적 유한(locally finite) 열린 세분을 갖는 것이다.

X의 열린 덮개 \{U_{\alpha}\}국소적 유한이라는 것은, x∈X마다 그 근방 W_x 가 존재하여 유한 개의 \alpha 에 대해서만 W_x \cap U_{\alpha} \ne \phi 을 만족한다는 의미이다.[1]:68

성질[편집]

파라콤팩트 공간은 다음과 같은 여러 유용한 성질들을 갖는다.

한편, 일반적으로 파라콤팩트 공간의 임의의 부분공간은 파라콤팩트 공간이 되지 않으므로 파라콤팩트성은 유전적 성질이 아니다. 또한, 콤팩트 공간들을 모으면 티호노프 정리에 의해 그 곱공간 역시 콤팩트 공간이 되는 것과는 다르게, 파라콤팩트 공간의 임의의 곱공간은 파라콤팩트 공간이 되지 않는다.[2]:253

역사[편집]

1944년 니콜라 부르바키프랑스 수학자 장 디외도네가 처음으로 제시하였다.[3]

참고 문헌[편집]

  1. (한국어) 조용승 (2010년). 《위상수학》. 경문사
  2. (영어) Munkres, James R. (2000년). 《Topology》. Prentice Hall
  3. (프랑스어) Dieudonné, Jean (1944년). Une généralisation des espaces compacts. 《Journal de mathématiques pures et appliquées (neuvième série)》 23: 65–76. MR0013297. ISSN 0021-7824.