함수해석학에서, 재생핵 힐베르트 공간(再生核Hilbert空間, 영어: reproducing kernel Hilbert space)은 값매김 연산자가 유계 작용소인, 함수로 구성된 힐베르트 공간이다.[1][2] 함수의 동치류로 구성된 르베그 공간 따위와 달리, 재생핵 힐베르트 공간은 함수로 구성되어야 한다. (르베그 공간의 경우, 주어진 점에서 함수 동치류의 원소들이 임의의 값을 가질 수 있어 값매김 연산자를 정의할 수 없다.)
가 주어졌다고 하자. 재생핵 -힐베르트 공간 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
- -힐베르트 공간
- 집합
- 단사 실수 선형 변환
- 사상 ,
이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
- 임의의 및 에 대하여,
여기서
는 함수 공간 위의 값매김 사상이다. 즉, 다음과 같은 가환 그림이 성립하여야 한다.
이 경우, 의 재생핵은 다음과 같은 함수이다.
라고 하자. 함수
가 주어졌다고 하자. 이 경우, 임의의 유한 부분 집합 , 에 대하여, 이를 표준적으로
로 선형으로 확장할 수 있다.
함수
가 다음 조건들을 만족시킨다면, 이를 위의 양의 정부호 핵(영어: positive-definite kernel)이라고 한다.
- (대칭성)
- (양의 부정부호) 임의의 유한 부분 집합 및 에 대하여,
- (비퇴화성) 임의의 유한 부분 집합 및 에 대하여, 일 필요 조건은 인 것이다.
위의 양의 정부호 핵 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 꼴의 함수들을 생각하자.
이러한 함수들의 공간을 라고 하자. 그 위에 내적
을 정의하면, 는 힐베르트 공간을 이루며
이다. 또한, 임의의
에 대하여,
이다. 즉, 는 재생핵 힐베르트 공간을 이룬다.
반대로, 모든 재생핵 힐베르트 공간은 위와 같은 꼴로 유일하게 표현될 수 있다.
유한 집합 위의 재생핵 힐베르트 공간[편집]
가 유한 집합이라고 하자. 그렇다면,
- (크로네커 델타)
는 재생핵 힐베르트 공간을 이룬다.
보다 일반적으로, 위의 재생핵 -힐베르트 공간은 모든 고윳값이 양의 실수인 대칭 행렬() 또는 에르미트 행렬()로 주어진다.
페일리-위너 공간[편집]
실수선 위의 함수 공간
을 생각하자.[1]:Example 4.2 즉, 이는 연속 함수 가운데, 푸리에 변환 아래 주파수들의 절댓값이 이하인 것들의 공간이다.
그 위의 힐베르트 내적은
이다.
이 경우, 재생핵은 다음과 같이 주어진다.
이 경우
이다 (는 아이버슨 괄호). 구체적으로, 임의의 에 대하여
이다.
재생핵 는 일종의 ‘주파수 한정’ 디랙 델타로 생각할 수 있다. 만약 극한을 취할 경우, 분포로서 가 된다.
베르그만 공간[편집]
복소평면 속의 원
위의 베르그만 공간(영어: Bergmann space) 는 L2 노름이 유한한 정칙 함수 들의 집합이며, 그 힐베르트 내적은 물론 L2 노름으로 유도된다. 이 경우, 재생핵
을 부여하면, 는 복소수 재생핵 힐베르트 공간을 이룬다.
콤팩트 공간 위의 함수[편집]
다음이 주어졌다고 하자.
- 콤팩트 공간
- 위의 유한 보렐 측도 . 또한, 모든 열린집합의 측도가 양의 실수라고 하자.
- 연속 함수인 양의 정부호 핵
그렇다면, 는 연산자
를 정의한다. 이 경우, 머서 정리(영어: Mercer’s theorem)에 의하여, 는 유계 작용소이며 콤팩트 작용소이며 자기 수반 작용소이며, 어떤 함수열
을 고유 벡터로 가지며, 그 고윳값
들은 음이 아닌 실수 값의 감소 수열
을 이룬다. 또한, 는 힐베르트 공간 의 정규 직교 기저를 이룬다. 또한, 함수 동치류 의 대표원 를 (유일하게) 연속 함수로 잡을 수 있다.
즉,
의 꼴이다. 이 경우,
로 놓으면, 는 위의 재생핵 힐베르트 공간을 이룬다.
참고 문헌[편집]
- ↑ 가 나 Manton, Jonathan H.; Amblard, Pierre-Olivier (2004). “A primer on reproducing kernel Hilbert spaces” (영어). arXiv:1408.0952.
- ↑ Berlinet, Alain; Thomas, Christine (2004). 《Reproducing kernel Hilbert spaces in probability and statistics》 (영어). Kluwer Academic Publishers.
외부 링크[편집]