인과 집합

인과 집합(영어: causal set)은 양자 중력에 대한 접근으로 시공간이 서로 이산적인 부분 순서 집합이라고 가정한다. 이에 따라 두 시공간의 사건에 대해 선후 관계가 매겨진다.

정의

인과 집합 $(C,\preceq )$은 다음 조건을 만족시키는 부분 순서 집합이다.

• 임의의 $x,z\in C$에 대하여, 구간 $\{y\in C\colon x\preceq y\preceq z\}$는 유한 집합이다.

통상적으로 이 부분 순서는 기호 $\preceq$로 나타내고, $x\preceq y\neq x$를 $x\prec y$로 표기한다.

기하

인과 집합은 비연속적이어서 다양체의 이론을 그대로 적용하는데 문제가 있다. 하지만 어떤 구조는 여기에도 적용될 수 있다. 이에 대한 전체 내용은 다음을 참고하라.

측지선

인과 집합의 원소$x,y\in C\,\!$에 고리는 $x\prec y$이지만 $x\prec z\prec y$를 만족하는 $z\in C\,\!$ 가 없는 경우를 말한다.

사슬은 원소의 수열 $x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}$ 가 있어서 $i=0,\ldots ,n-1$. 일 때 $x_{i}\prec x_{i+1}$가 만족되는 것을 말한다.

이 사슬의 길이를 $n$라고 하자.

측지선은 두 원소 $x,y\in C$가 고리로만 연결되는 사슬이며 아래 조건을 만족하는 것이다.

1. $x_{0}=x\,\!$ 이고 $x_{n}=y\,\!$
2. 사슬의 길이 $n$은 $x\,$ 와 $y\,$를 잇는 모든 사슬에 대해 최대다