인과 집합

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인과 집합양자 중력에 대한 접근으로 시공간이 서로 이산적이며 부분순서를 가진다고 가정한다. 이에 따라 두 시공간의 사건에 대해 선후 관계가 매겨진다.

성질[편집]

인과 집합은 집합 C부분 순서 이항관계 \preceq 를 가진것을 말한다.

여기서 card(A)는 집합 A크기를 뜻한다. 우리는 x \prec yx \preceq y 이고 x \neq y 일때 쓸것이다.

기하[편집]

인과 집합은 비연속적이어서 다양체의 이론을 그대로 적용하는데 문제가 있다. 하지만 어떤 구조는 여기에도 적용될 수 있다. 이에 대한 전체 내용은 다음을 참고하라. [1]

측지선[편집]

인과 집합의 원소x, y \in C\,\!고리x \prec y 이지만 x \prec z \prec y를 만족하는 z \in C\,\! 가 없는 경우를 말한다.

사슬은 원소의 수열 x_0,x_1,\ldots,x_n 가 있어서 i=0,\ldots,n-1. 일때 x_i \prec x_{i+1}가 만족되는 것을 말한다.


이 사슬의 길이를 n라고 하자.


측지선은 두 원소 x, y \in C가 고리로만 연결되는 사슬이며 아래 조건을 만족하는 것이다.

  1. x_0 = x\,\! 이고 x_n = y\,\!
  2. 사슬의 길이 nx\,y\,를 잇는 모든 사슬에 대해 최대다

주석[편집]

  1. G, Brightwell, R. Gregory, Structure of random discrete spacetime, Phys. Rev. Lett. 66, 260 - 263 (1991)