인과 집합

인과 집합은 양자 중력에 대한 접근으로 시공간이 서로 이산적이며 부분순서를 가진다고 가정한다. 이에 따라 두 시공간의 사건에 대해 선후 관계가 매겨진다.

성질

인과 집합은 집합 $C$가 부분 순서 이항관계 $\preceq$ 를 가진것을 말한다.

• 반사관계: 모든 $x \in C$에 대해 $x \preceq x$이다.
• 반대칭관계: 모든 $x, y \in C$에 대해 $x \preceq y \preceq x \implies x = y$이다.
• 추이관계: 모든 $x, y, z \in C$에 대해 $x \preceq y \preceq z$는 $x \preceq z$를 함축한다.
• 국소 유한 부분순서집합 :모든$x, z \in C$에 대해 card$(\{y \in C | x \preceq y \preceq z\}) < \infty$이다.

여기서 card($A$)는 집합 $A$의 크기를 뜻한다. 우리는 $x \prec y$를 $x \preceq y$ 이고 $x \neq y$ 일때 쓸것이다.

기하

인과 집합은 비연속적이어서 다양체의 이론을 그대로 적용하는데 문제가 있다. 하지만 어떤 구조는 여기에도 적용될 수 있다. 이에 대한 전체 내용은 다음을 참고하라.

측지선

인과 집합의 원소$x, y \in C\,\!$에 고리는 $x \prec y$ 이지만 $x \prec z \prec y$를 만족하는 $z \in C\,\!$ 가 없는 경우를 말한다.

사슬은 원소의 수열 $x_0,x_1,\ldots,x_n$ 가 있어서 $i=0,\ldots,n-1$. 일때 $x_i \prec x_{i+1}$가 만족되는 것을 말한다.

이 사슬의 길이를 $n$라고 하자.

측지선은 두 원소 $x, y \in C$가 고리로만 연결되는 사슬이며 아래 조건을 만족하는 것이다.

1. $x_0 = x\,\!$ 이고 $x_n = y\,\!$
2. 사슬의 길이 $n$은 $x\,$ 와 $y\,$를 잇는 모든 사슬에 대해 최대다